Περισσότεροι άσσοι ή δυάρια;

#1

Θεωρούμε τους πρώτος 1000000000

φυσικούς αριθμούς. (Ξεκινώντας από το 1.) Αλλάζουμε κάθε αριθμό με το άθροισμα των ψηφίων του και επαναλαμβάνουμε μέχρι να μείνουν 1000000000

μονοψήφιοι αριθμοί.

Στην τελική λίστα, υπάρχουν περισσότεροι άσσοι ή περισσότερα δυάρια;

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1964

#2

Συμβολίζουμε με $\displaystyle{S\left( n \right)}$ το άθροισμα των ψηφίων του θετικού ακέραιου

. Σύμφωνα με το κριτήριο διαιρετότητας ενός αριθμού με το

, είναι $\displaystyle{n \equiv S\left( n \right)(\bmod 9). }$ Επομένως, για κάθε θετικούς ακέραιους k, n

είναι

$\displaystyle{n \equiv \left( {\underbrace {S \circ S \circ \cdots \circ S}_k} \right)\left( n \right)(\bmod 9).}$

Έτσι, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι οι αριθμοί του συνόλου $\displaystyle{\left\{ {1,2, \ldots ,1.000.000.000} \right\}}$ που είναι $\displaystyle{ \equiv 1(\bmod 9)}$ είναι περισσότεροι από αυτούς που είναι $\displaystyle{ \equiv 2(\bmod 9).}$ Πράγματι, οι $\displaystyle{ \equiv 1(\bmod 9)}$ είναι οι αριθμοί

$\displaystyle{1,10,19,28, \ldots ,999.999.991,1.000.000.000}$

ενώ οι $\displaystyle{ \equiv 2(\bmod 9)}$ είναι οι αριθμοί

$\displaystyle{2,11,20,29, \ldots ,999.999.992}$ .

Ώστε, στην τελική λίστα θα υπάρχουν περισσότεροι άσσοι από δυάρια.

Περισσότεροι άσσοι ή δυάρια;

Περισσότεροι άσσοι ή δυάρια;

Re: Περισσότεροι άσσοι ή δυάρια;

Μέλη σε σύνδεση