Κυψελοτρίγωνο

KARKAR · #1

: Κυψελοτρίγωνο.png (23.23 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές

Τα σημεία P , T

του σχήματος κινούνται , έτσι ώστε το τρίγωνο SPT

να είναι πάντα ορθογώνιο στο

.

α) Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου . β) Για ποια θέση του

, είναι :

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 18, 2026 6:56 am
Κυψελοτρίγωνο.pngΤα σημεία του σχήματος κινούνται , έτσι ώστε το τρίγωνο να είναι πάντα ορθογώνιο στο .

α) Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου . β) Για ποια θέση του , είναι : ;

: Κυψελοτρίγωνο.png (35.68 KiB) Προβλήθηκε 67 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 18, 2026 6:56 am
Κυψελοτρίγωνο.pngΤα σημεία του σχήματος κινούνται , έτσι ώστε το τρίγωνο να είναι πάντα ορθογώνιο στο .

α) Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου . β) Για ποια θέση του , είναι : ;

α) Θέτουμε AP=x

. Τότε από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα APS, BST

έχουμε $ST= \dfrac {\sqrt {a^2+x^2} }{x}$ (άμεσο). Άρα

$(SPT) = \dfrac {1}{2} SP\cdot ST= \dfrac {1}{2} \sqrt {a^2+x^2} \cdot \dfrac {\sqrt {a^2+x^2} }{x}= \dfrac {b}{2} \dfrac {a^2+x^2} {x} =$

$=\dfrac {b}{2}\left ( \dfrac {a^2}{x} +x} \right ) \ge \dfrac {b}{2} \cdot 2 \sqrt { \dfrac {a^2}{x} \cdot x} = \boxed {ab}$ με ισότητα όταν x=a

β) Θέλουμε $\dfrac {b}{2} \dfrac {a^2+x^2} {x}=2ab$ , από όπου $\boxed {x=(2\pm \sqrt 3)a}$ . Αυτό δίνει την θέση του

(η άσκηση ζητά την θέση του

, αλλά αυτό είναι σταθερό. Προφανώς πρόκειται για μικρή τυπογραφική αβλεψία).

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 18, 2026 6:56 am
Κυψελοτρίγωνο.pngΤα σημεία του σχήματος κινούνται , έτσι ώστε το τρίγωνο να είναι πάντα ορθογώνιο στο .

α) Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου . β) Για ποια θέση του , είναι : ;

Λίγο διαφορετικά ως προς τον υπολογισμό του εμβαδού.

Θέτω AP=x, BT=y.

Από την ομοιότητα των τριγώνων APS, BST,

παίρνω $\boxed{y=\frac{ab}{x}}$

: Κυψελοτρίγωνο.png (35.68 KiB) Προβλήθηκε 52 φορές

$\displaystyle (SPT) = (ABTP) - (ASP) - (BST) = \frac{{(x + y)(a + b)}}{2} - \frac{{ax + by}}{2} = \frac{{bx + ay}}{2}$

και αντικαθιστώντας το

$\boxed{(SPT) = \frac{b}{2}\left( {\frac{{{a^2} + {x^2}}}{x}} \right)}$

Τα υπόλοιπα ακριβώς όπως και ο Μιχάλης.

Κυψελοτρίγωνο

Κυψελοτρίγωνο

Re: Κυψελοτρίγωνο

Re: Κυψελοτρίγωνο

Re: Κυψελοτρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση