Σταθερότητα και ισότητα

KARKAR · #1

: Σταθερότητα και ισότητα.png (11.91 KiB) Προβλήθηκε 997 φορές

Σημείο

κινείται στην πλευρά

του διαστάσεων $9 \times 5$ ορθογωνίου ABCD

. Ονομάζω

τις προβολές των B , C , D

αντίστοιχα , στην ευθεία

. α) Δείξτε ότι : DD'=BB'+CC'

.

β) Βρείτε τη θέση του

για την οποία : BB'+CC'+DD'=AS

και την τότε $\tan\widehat{ADD'}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 30, 2022 8:26 am
Σταθερότητα και ισότητα.pngΣημείο κινείται στην πλευρά του διαστάσεων $9 \times 5$ ορθογωνίου . Ονομάζω

τις προβολές των αντίστοιχα , στην ευθεία . α) Δείξτε ότι : .

β) Βρείτε τη θέση του για την οποία : και την τότε $\tan\widehat{ADD'}$

Από τα όμοια τρίγωνα $ADD',\, BB'S,\, CC'S$ έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {DD'}{AD}=\dfrac {BB'}{BS}=\dfrac {CC'}{CS}= \dfrac {BB'+CC'}{BS+CS}= \dfrac {BB'+CC'}{BC}}$

Από την πρώτη και την τελευταία, αφού AD=BC

, έπεται το ζητούμενο.

Αν θέσουμε $\theta = \widehat{ADD'}$ τότε έχουμε από τα τρίγωνα $ADD',\, ABS$ ότι $DD'= 5 \cos \theta, \, AS = \dfrac {9}{\cos \theta}$
Αλλά από το προηγούμενο είναι AS=2DD'

, οπότε

$2\cdot 5\cos \theta = \dfrac {9}{\cos \theta}$ , άρα $\cos ^2 \theta = 9/10$ , οπότε $\tan \theta = \sqrt {\dfrac {1}{ \cos ^2 \theta}-1} = \dfrac {1}{3}$

#3

Για το (α) μπορούμε επίσης να δούμε ότι

$\displaystyle (BB')(AS) + (CC')(AS) = 2(ABS) + 2(ACS) = 2(ABC) = (ABCD) = 2(ASD) = (DD')(AS)$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 30, 2022 8:26 am
Σταθερότητα και ισότητα.pngΣημείο κινείται στην πλευρά του διαστάσεων $9 \times 5$ ορθογωνίου . Ονομάζω

τις προβολές των αντίστοιχα , στην ευθεία . α) Δείξτε ότι : .

β) Βρείτε τη θέση του για την οποία : και την τότε $\tan\widehat{ADD'}$

Αλλιώς για το δεύτερο ερώτημα.

: Σταθερότητα και ισότητα.png (12.28 KiB) Προβλήθηκε 963 φορές

$\displaystyle (ADS) = \frac{{(ABCD)}}{2} \Leftrightarrow \frac{{AS \cdot DD'}}{2} = \frac{{45}}{2} \Leftrightarrow \frac{{A{S^2}}}{2} = 45 \Leftrightarrow A{S^2} = 90$ και $\boxed{BS=3}$

$\displaystyle \tan (ADD') = \tan \theta = \frac{{BS}}{{AB}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta=\frac{1}{3}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 30, 2022 8:26 am
Σταθερότητα και ισότητα.pngΣημείο κινείται στην πλευρά του διαστάσεων $9 \times 5$ ορθογωνίου . Ονομάζω

τις προβολές των αντίστοιχα , στην ευθεία . α) Δείξτε ότι : .

β) Βρείτε τη θέση του για την οποία : και την τότε $\tan\widehat{ADD'}$

A)Με $CE \bot DD'$ από την προφανή ισότητα των τριγώνων DEC,AB’D

είναι

Άρα

B)Απαιτούμε AS=DD’+BB’+CC’=2DD’

.Με

μεσοκάθετη της

είναι

(αφού $\triangle AMN= \triangle MNA$ ) οπότε NB=4

άρα

: Σταθερότητα και ισότητα.png (10.26 KiB) Προβλήθηκε 931 φορές

Σταθερότητα και ισότητα

Σταθερότητα και ισότητα

Re: Σταθερότητα και ισότητα

Re: Σταθερότητα και ισότητα

Re: Σταθερότητα και ισότητα

Re: Σταθερότητα και ισότητα

Μέλη σε σύνδεση