Ισεμβαδικά σε ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Ισεμβαδικά σε ορθογώνιο.png (7.16 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι : $AC=\lambda AB$ και

το ύψος προς την υποτείνουσα .

Έστω

ένα άλλο σημείο της υποτείνουσας και D' , S'

οι προβολές των D,S

στην πλευρά

.

α) Αν $\lambda=2$ , βρείτε τη θέση του

, ώστε :

.

β) Κάντε το ίδιο για οποιονδήποτε $\lambda >1$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 14, 2019 2:38 pm
Ισεμβαδικά σε ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι : $AC=\lambda AB$ και το ύψος προς την υποτείνουσα .

Έστω ένα άλλο σημείο της υποτείνουσας και οι προβολές των στην πλευρά .

α) Αν $\lambda=2$ , βρείτε τη θέση του , ώστε : .

β) Κάντε το ίδιο για οποιονδήποτε $\lambda >1$ .

Για την γενική περίπτωση. Έστω $\boxed{CS'=x}$

: Ισεμβαδικά σε ορθογώνιο.png (8.99 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

Με Π. Θ βρίσκω ότι $\displaystyle a = c\sqrt {{\lambda ^2} + 1}$ και $\displaystyle (ABC) = \frac{{\lambda {c^2}}}{2} \Leftrightarrow c\sqrt {{\lambda ^2} + 1} \cdot AD = \lambda {c^2} \Leftrightarrow AD = \frac{{\lambda c}}{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1} }}$

Τα τρίγωνα ABC, D'AD

είναι όμοια: $\displaystyle \frac{{(ADD')}}{{(ABC)}} = \frac{{A{D^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{(ADD') = \frac{{{\lambda ^3}{c^2}}}{{2{{({\lambda ^2} + 1)}^2}}}}$

$\displaystyle \frac{{SS'}}{c} = \frac{x}{{\lambda c}} \Leftrightarrow SS' = \frac{x}{\lambda },AS' = \lambda c - x$ και λόγω ισεμβαδικότητας, $\displaystyle SS' \cdot AS' = \frac{{{\lambda ^3}{c^2}}}{{{{({\lambda ^2} + 1)}^2}}}$

Άρα, $\displaystyle {x^2} - \lambda cx + \frac{{{\lambda ^4}{c^2}}}{{{{({\lambda ^2} + 1)}^2}}} = 0.$ Η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Η μία δίνει το CD'

και η άλλη το $\boxed{ CS' = \frac{{\lambda c}}{{{\lambda ^2} + 1}}}$

Για $\lambda=2,$ τότε $\boxed{x=\dfrac{2c}{5}}$ Στη συνέχεια προσδιορίζουμε το

με κάθετη από το

στην

Ισεμβαδικά σε ορθογώνιο

Ισεμβαδικά σε ορθογώνιο

Re: Ισεμβαδικά σε ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση