Επίλυση τριγώνου

KARKAR · #1

: Επίλυση τριγώνου.png (6.7 KiB) Προβλήθηκε 1069 φορές

Σε κύκλο ακτίνας

είναι εγγεγραμμένο το τρίγωνο ABC

του σχήματος . Υπολογίστε :

α) την

... β) την $\tan\theta$ ... γ) Το (ABC)

. Δοκιμάστε και άλλους τρόπους

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 11, 2025 8:58 am
Επίλυση τριγώνου.pngΣε κύκλο ακτίνας είναι εγγεγραμμένο το τρίγωνο του σχήματος . Υπολογίστε :

α) την ... β) την $\tan\theta$ ... γ) Το . Δοκιμάστε και άλλους τρόπους

α) $\dfrac {b}{\sin B}=2R$ , εδώ $\dfrac {6}{\sin B}=10$ . Άρα $\sin B= \dfrac {3}{5}$

β) $\cos B= \pm \sqrt {1-\sin ^2B} = \pm \dfrac {4}{5}$ . Αν ακολουθήσουμε το σχήμα (οξεία

), κρατάμε μόνο το

. Σε αυτή την περίπτωση $\tan B = \dfrac {3}{4}$

γ) Οπότε από τον Νόμο των Συνημιτόνων $6^2=c^2+8^2-2\cdot c\cdot 8\cdot \dfrac {4}{5}$ , οπότε 5c^2-64c+140=0

, από όπου $c=\dfrac {14}{5}$ ή c=10

. Στην πρώτη περίπτωση $(ABC) = \dfrac {1}{2} ac\sin B= \dfrac {168}{25}$ και στην δεύτερη $(ABC) = \dfrac {1}{2} ac\sin B= 24$

(Ανάλογα αν θέλαμε να μελετήσουμε την περίπτωση $\cos B= - \dfrac {4}{5}$ )

Σχόλιο: Η άσκηση είναι απόλυτης ρουτίνας που υπάρχει ίδια, εκτός από τα νούμερα, σε όλα τα βιβλία που ασχολούνται με το θέμα. Χρησιμοποιεί μόνο έτοιμους τύπους, χωρίς φαντασία. Δεν ξέρω αν είναι αυτό που ζητάει ένας μαθητής που διαβάζει το φόρουμ μας.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 11, 2025 8:58 am
Επίλυση τριγώνου.pngΣε κύκλο ακτίνας είναι εγγεγραμμένο το τρίγωνο του σχήματος . Υπολογίστε :

α) την ... β) την $\tan\theta$ ... γ) Το . Δοκιμάστε και άλλους τρόπους

: Επίλυση τριγώνου.Κ1.png (17.73 KiB) Προβλήθηκε 1050 φορές

Με πρόλαβε ο Μιχάλης! Αφήνω το σχήμα.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 11, 2025 8:58 am
Επίλυση τριγώνου.pngΣε κύκλο ακτίνας είναι εγγεγραμμένο το τρίγωνο του σχήματος . Υπολογίστε :

α) την ... β) την $\tan\theta$ ... γ) Το . Δοκιμάστε και άλλους τρόπους

: Επίλυση τριγώμου KARKAR.png (41.6 KiB) Προβλήθηκε 1026 φορές

Κατασκευάζω κύκλο $\left( {L,5} \right)$ διαμέτρου BLT

και τις χορδές του $CT = 6\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB = 8$ . Μετά γράφω το κύκλο $\left( {C,6} \right)$ που τέμνει τη

στο

.

Ο περίκυκλος $\left( {A,B,C} \right)$ με κέντρο έστω

είναι ίσος με τον $\left( {L,5} \right)$ γιατί έχουν κοινή τη χορδή

κι απέναντι απ’ αυτή , έχουν γωνίες ,

παραπληρωματικές ( $\widehat {BAC} + \widehat {BTC} = \widehat {BAC} + \widehat {CAT} = 180^\circ$ .

Μετά απ αυτά: $\cos 2\phi = \dfrac{7}{{25}}$ και από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle LAC$ , ${6^2} = {\left( {5 - x} \right)^2} + {5^2} - 10\left( {5 - x} \right)\left( { - \dfrac{7}{{25}}} \right) \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{14}}{5} = AB}$

$\boxed{\tan \theta = \dfrac{{CT}}{{CB}} = \dfrac{3}{4}}$ και $\boxed{\left( {ABC} \right) = \dfrac{1}{2}BA \cdot BC\sin \theta = \dfrac{1}{2} \cdot \frac{{14}}{5} \cdot 8 \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{{168}}{{25}}}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 11, 2025 8:58 am
Επίλυση τριγώνου.pngΣε κύκλο ακτίνας είναι εγγεγραμμένο το τρίγωνο του σχήματος . Υπολογίστε :

α) την ... β) την $\tan\theta$ ... γ) Το . Δοκιμάστε και άλλους τρόπους

Έστω

το μέσο του AC.

Είναι, $\displaystyle M\widehat OC = \theta \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{3}{4}}$ οπότε $\displaystyle \cos \theta = \frac{4}{5}$

: Επίλυση τριγώνου.Κ2.png (18.66 KiB) Προβλήθηκε 1012 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στο ABC,

$\displaystyle 5A{B^2} - 64AB + 140 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{AB = \frac{{14}}{5}}$ ή $\boxed{A'B'=10}$

Υπάρχουν λοιπόν δύο τρίγωνα που επαληθεύουν τα δεδομένα. Το ABC

και το

που φαίνονται στο σχήμα.

Τα εμβαδά τώρα, $\boxed{(ABC) = \frac{1}{2}ac\sin \theta = \frac{{168}}{{25}}}$ και το ορθογώνιο $\boxed{(A'B'C')=\frac{6\cdot 8}{2}=24}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 11, 2025 8:58 am
Επίλυση τριγώνου.pngΣε κύκλο ακτίνας είναι εγγεγραμμένο το τρίγωνο του σχήματος . Υπολογίστε :

α) την ... β) την $\tan\theta$ ... γ) Το . Δοκιμάστε και άλλους τρόπους

Θεωρούμε την περίπτωση $\theta <90^0$ (όπως στο σχήμα) και την κάθετη στην

στο

(Ανάλογα εργαζόμαστε ΄όταν $\theta >90^0$ )

Κατασκευάζουμε τον κύκλο (C,6)

κι έστω

το δεύτερο σημείο τομής του με τον κύκλο (A,B,C)

Τότε $\angle EAD=90^0$ και λόγω του εγγράψιμμου ACEB

θα είναι επίσης $\angle BAE=90^0$ οπότε B,A,D

συνευθειακά

με (Π.Θ στο τρίγωνο BCD

)

άρα $sin \theta = \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$

$DA.DB=DC.DE \Rightarrow 10DA=72 \Rightarrow DA= \dfrac{36}{5} \Rightarrow AB=10- \dfrac{36}{5} = \dfrac{14}{5}$

$(ABC)= \dfrac{ \dfrac{14}{5}.6.8 }{4.5}=6.72$

: Επίλυση τριγώνου.png (30.59 KiB) Προβλήθηκε 989 φορές

Επίλυση τριγώνου

Επίλυση τριγώνου

Re: Επίλυση τριγώνου

Re: Επίλυση τριγώνου

Re: Επίλυση τριγώνου

Re: Επίλυση τριγώνου

Re: Επίλυση τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση