Ειδική μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Ειδική μεγιστοποίηση.png (10 KiB) Προβλήθηκε 839 φορές

Τμήμα

, μήκους

, ολισθαίνει πάνω στην υποτείνουσα

, ορθογωνίου τριγώνου ABC

, με :

. Ονομάζουμε D', E'

, τις προβολές των D,E

στην

και

τις

προβολές των D,E

στην

. Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του πολυγώνου DEE'D'E''D''

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 28, 2021 2:02 pm
Ειδική μεγιστοποίηση.pngΤμήμα , μήκους , ολισθαίνει πάνω στην υποτείνουσα , ορθογωνίου τριγώνου , με :

. Ονομάζουμε , τις προβολές των στην και τις

προβολές των στην . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του πολυγώνου .

Θέτω

Το

είναι όμοιο με το ABC

με λόγο ομοιότητας 3:10,

άρα

$\displaystyle D'E' = ZE = \frac{{12}}{5}$ και $\displaystyle E''Z'' = ZD = \frac{9}{5}.$ Εξάλλου και τα τρίγωνα EE'B, D''DC

είναι

όμοια με το ABC,

οπότε $\displaystyle EE' = \frac{{3x}}{4},CD'' = \frac{{3y}}{4}.$

: Ειδική μεγιστοποίηση.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 807 φορές

$\displaystyle AB = 8 \Leftrightarrow$ $\boxed{x+y=\frac{28}{5}}$ To ζητούμενο εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα

$\displaystyle (AD'E) + (E'BE) + (DD''C) = \frac{3}{8}\left( {{x^2} + {y^2} + xy} \right) = \frac{3}{8}\left( {{{(x + y)}^2} - xy} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle (AD'E'') + (E'BE) + (DD''C) \ge \frac{3}{8}\left( {{{(x + y)}^2} - \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4}} \right) = \frac{{441}}{{50}}$

Άρα, $\boxed{{(DEE'D'E''D'')_{\max }} = 24 - \frac{{441}}{{50}} = \frac{759}{50}}$ όταν $\boxed{x = y = \frac{{28}}{{10}}}$

#3

: Ειδική μεγιστοποίηση_ok.png (24.25 KiB) Προβλήθηκε 768 φορές

Δείτε ότι το άθροισμα των εγχρώμων σχημάτων είναι σταθερό …

Αρκεί να μεγιστοποιηθεί το $\left( {ALM} \right)$ που αβίαστα με τους συμβολισμούς του

σχήματος προκύπτει : $\boxed{\left( {ALM} \right) = 6km}$ αλλά $\boxed{k + m = \frac{7}{5}}$ άρα αρκεί $\boxed{k = m = \frac{7}{{10}}}$ .

Αργότερα ίσως γράψω την πλήρη λύση .

vassilis314 · #4

Μέσω πυθαγόρειου θεωρήματος στο τρίγωνο ABC

βρίσκουμε ότι BC=10

.
Έστω

το σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων DD'

και

. To τρίγωνο DFE

είναι όμοιο με το ABC

οπότε $\frac{3}{10}=\frac{DF}{6}=\frac{FE}{8}$ και τελικά DF=1.8

και

Έστω

. Το

βρίσκεται στο διάστημα [0,5.6].

Τα τρίγωνα CD''D

και

είναι όμοια άρα $\frac{CD''}{6}=\frac{D''D'}{8}$ ή $\frac{CD''}{6}=\frac{x}{8}$ δηλαδή $CD''=\frac{3x}{4}$ και $AE''=AC-(E''D''+D''C)=6-(1.8+\frac{3x}{4})=4.2-\frac{3x}{4}$