Υψόκεντρο

KARKAR · #1

: Υψόκεντρο.png (19.56 KiB) Προβλήθηκε 842 φορές

Ο κύκλος

διέρχεται από τα ίχνη των υψών AM , BD , CE

του ισοσκελούς τριγώνου ABC

.

Ποια ιδιότητα του τριγώνου , μας εξασφαλίζει ότι τα σημεία E , O , D

είναι συνευθειακά ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 05, 2024 8:15 pm
Υψόκεντρο.pngΟ κύκλος διέρχεται από τα ίχνη των υψών του ισοσκελούς τριγώνου .

Ποια ιδιότητα του τριγώνου , μας εξασφαλίζει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά ;

: Υψόκεντρο.png (14.79 KiB) Προβλήθηκε 789 φορές

Προφανώς, πρόκειται για τον κύκλο του $\rm Euler$ του τριγώνου ABC,

άρα

θα είναι το μέσο του AB.

Για να είναι τα σημεία E, O, D

συνευθειακά θα πρέπει η

να είναι διάμετρος του κύκλου, οπότε

$DN\bot AB,$ δηλαδή το τρίγωνο ABD

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Επομένως, $\boxed{\widehat A=45^o}$

abgd · #3

$\displaystyle{ME=MD=\dfrac{BC}{2}}$ ,

$\displaystyle{D,O,E}$ συνευθειακά αν και μόνο αν $\displaystyle{\triangle{DME}$ ορθογώνιο, (και ισοσκελές).

Είναι

$\displaystyle{\Hat{MDC}+\Hat{MDE}+\Hat{EDA}=180^o\Leftrightarrow \hat{C}+45^o+\hat{C}=180\Leftrightarrow \hat{C}=67,5^o\Leftrightarrow \boxed{\hat{A}=45^o}}$

Υψόκεντρο

Υψόκεντρο

Re: Υψόκεντρο

Re: Υψόκεντρο

Μέλη σε σύνδεση