Απόκλιση μηδέν

KARKAR · #1

: Απόκλιση μηδέν.png (18.49 KiB) Προβλήθηκε 1599 φορές

Οι κύκλοι (O)

και

τέμνονται στα σημεία A, B

. Ο κύκλος (K , A , O)

τέμνει

τον (O)

στο σημείο

. Εξηγήστε γιατί τα σημεία S , B , K

είναι συνευθειακά .

∫ot.T. · #2

Γνωρίζουμε ότι AB, OK κάθετες, άρα η ευθεία παράλληλη στην OK θα τέχνη τον κύκλο (Ο) στο αντιδιαμετρικό του Α, έστω στο Α'.

Έχουμε $\widehat{OKS}=\widehat{OAS}$ , βαίνουν στο ΟS
Επίσης $\widehat{OAS}=\widehat{SAA'}=\widehat{SBA'}$ , βαίνουν στο SA'
Άρα $\widehat{OKS}=\widehat{A'BS}$
Όμως Α'Β και ΟΚ παράλληλες, άρα πρέπει KS, BS παράλληλες.
Άρα K,B,S συνευθειακά.

S.E.Louridas · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 28, 2023 10:55 am
Οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία . Ο κύκλος τέμνει
τον στο σημείο . Εξηγήστε γιατί τα σημεία είναι συνευθειακά .

Ας πω και εγώ την παρόμοια άποψη μου.

$\angle LBK = \angle KLB = \angle AKO = \angle ASO = \angle OAS = \angle FBS.$

: qw12.png (48.11 KiB) Προβλήθηκε 1514 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 28, 2023 10:55 am
Απόκλιση μηδέν.pngΟι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία . Ο κύκλος τέμνει

τον στο σημείο . Εξηγήστε γιατί τα σημεία είναι συνευθειακά .

Θεωρώ μόνο τους κύκλους $\left( O \right)$ και $\left( K \right)$ που τέμνονται στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ .

Φέρνω τις ευθείες $OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB$ που τους τέμνουν ακόμα , στα $Z\,\,,\,\,E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T\,\,,\,\,D$ .

: Απόκλιση μηδέν_ok.png (32.04 KiB) Προβλήθηκε 1450 φορές

Οι ευθείες $ZT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ED$ είναι προφανώς παράλληλες . Όλες οι κίτρινες γωνίες είναι από $\theta$ κάθε μια και οι δύο κόκκινες από $2\theta$ .

Άρα το τετράπλευρο AOTK

είναι εγγράψιμο και το

ταυτίζεται με το

.

Το ζητούμενο φανερό.

KARKAR · #5

Το θέμα κατά λάθος τοποθετήθηκε στον φάκελο της Άλγεβρας ( αντί εκείνου της Γεωμετρίας )

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 28, 2023 10:55 am
Απόκλιση μηδέν.pngΟι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία . Ο κύκλος τέμνει

τον στο σημείο . Εξηγήστε γιατί τα σημεία είναι συνευθειακά .

$EB//AM/GK\Rightarrow \hat{MAJ}=\hat{OKA},(1), \hat{EBS}=\hat{OKB},(2), (1),(2)\Rightarrow MJ=ES,ME//JS$

δηλαδή το MJSE

είναι ισοσκελές τραπέζιο

$\hat{JAO}+\hat{OAB}+\hat{BAK}=180\Rightarrow \hat{MBS}+\hat{OBA}+\hat{ABK}=180$

Οπότε τα σημεία K,B,S

είναι συνευθειακά

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 28, 2023 10:55 am
Απόκλιση μηδέν.pngΟι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία . Ο κύκλος τέμνει

τον στο σημείο . Εξηγήστε γιατί τα σημεία είναι συνευθειακά .

Είναι $\angle AOK= \angle KOB= \angle KDA= \phi$ και $\angle OSA= \angle OAS= \angle CBO=x$

άρα O,C,B,S

ομοκυκλικά,συνεπώς $\angle ASB= \phi$

Ακόμη, λόγω του εγγράψιμμου SAKD

είναι $\angle ASK= \phi$

Έτσι,η

σχηματίζει με τις SB,SK

την ίδια γωνία $\phi$ , επομένως S,B,K

συνευθειακά

: απόκλιση μηδέν.png (49.15 KiB) Προβλήθηκε 1367 φορές

Henri van Aubel · #8

Και αλλιώς: $\displaystyle \angle ASK=\angle AOK=\frac{\angle AOB}{2}=\angle ASB$ οπότε S,B,K

συνευθειακά.

#9

Μετακινήθηκε στον σωστό φάκελο.

Ας δούμε και μια λύση μα αντιστροφή. Αχρείαστη βέβαια αφού υπάρχουν απλούστερες λύσεις αλλά νομίζω αρκετά καλή για εξάσκηση για όσους τώρα μαθαίνουν αντιστροφή.

Αντιστρέφουμε στον κύκλο (Ο,ΟΑ)

. Τα

παραμένουν στη θέση τους, το

πάει στο άπειρο και τα

σε ένα σημείο

της

που είναι και μεσοκάθετος της

.

Τα

είναι συνευθειακά και πρέπει να δείξουμε ότι τα O,K',B,S

είναι ομοκυκλικά (ή συνευθειακά). Αλλά

$\displaystyle \angle K'SB = \angle ASB = \frac{\angle AOB}{2} = \angle K'OB$

οπότε τελειώσαμε.

Απόκλιση μηδέν

Απόκλιση μηδέν

Re: Απόκλιση μηδέν

Re: Απόκλιση μηδέν

Re: Απόκλιση μηδέν

Re: Απόκλιση μηδέν

Re: Απόκλιση μηδέν

Re: Απόκλιση μηδέν

Re: Απόκλιση μηδέν

Re: Απόκλιση μηδέν

Μέλη σε σύνδεση