Διαμεσικό πρόβλημα

KARKAR · #1

: Διαμεσικό πρόβλημα.png (12.01 KiB) Προβλήθηκε 1058 φορές

$\bigstar$ Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , στο οποίο γνωρίζουμε τις δύο διαμέσους

BM=7

και

. Αν

είναι το βαρύκεντρό του , υπολογίστε και το μήκος του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 22, 2021 11:15 am
Διαμεσικό πρόβλημα.png $\bigstar$ Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , στο οποίο γνωρίζουμε τις δύο διαμέσους

και . Αν είναι το βαρύκεντρό του , υπολογίστε και το μήκος του τμήματος .

Με Πυθαγόρειο βρίσκω: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {c^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} = 49\\ \\ {b^2} + \dfrac{{{c^2}}}{4} = 81 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {c^2} = \dfrac{{92}}{3}\\ \\ {b^2} = \dfrac{{220}}{3} \end{array} \right$

Με γνωστές τις κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου, η κατασκευή είναι απλή.

$\displaystyle AG = \frac{a}{3} = \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{3} = \frac{{\sqrt {104} }}{3}$

S.E.Louridas · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 22, 2021 11:15 am
Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , στο οποίο γνωρίζουμε τις δύο διαμέσους
και . Αν είναι το βαρύκεντρό του , υπολογίστε και το μήκος του τμήματος .

Ας δούμε και αυτό.

Παίρνουμε σαν βάση π.χ. το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{GC = \frac{2}{3}CN$ και το μέσον

του

Το μέσο

του

προσδιορίζεται ως τομή του κύκλου $\displaystyle{\left( {L,\,LT} \right),\;\,\left( {LT = \frac{{BG}}{2} = \frac{{BM}}{3}} \right)}$

και του Απολλώνιου κύκλου με βάση την

και λόγο $\displaystyle{\frac{{TC}}{{TG}} = 3.}$

Ο προσδιορισμός του

μας οδηγεί στον άμεσο προσδιορισμό του τριγώνου ABC.

: ςε.png (74.57 KiB) Προβλήθηκε 972 φορές

#4

Κατασκευή

Κάτι παρόμοιο με του Σωτήρη .

Ας είναι : $BM = {m_b}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CN = {m_c}$

Με διάμετρο τη διάμεσο $\overline {BOM} = {m_b}$ γράφω ημικύκλιο. Με διάμετρο το $\boxed{BO = \frac{{BM}}{2}}$ και προς το ίδιο ημιεπίπεδο γράφω άλλο ημικύκλιο .

Θεωρώ το σταθερό, εσωτερικό, σημείο

του

, έτσι ώστε : BG = 2GM

.

: Διαμεσικό πρόβλημα_κατασκευή.png (28.5 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές

Ο κύκλος , $\boxed{\left( {G,\frac{{{m_c}}}{3}} \right)}$ τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο

και η

το μεγάλο ημικύκλιο στο

.

Η τομή των $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NG$ είναι το σημείο

.

Ο υπολογισμός του

είναι άλλο πρόβλημα που έχει την πιο απλή λύση αυτή που έδωσε ο Γιώργος.

Προφανώς η κατασκευή του τριγώνου μετά είναι (και πάλι) αυτή που προτείνει ο Γιώργος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 22, 2021 11:15 am
Διαμεσικό πρόβλημα.png $\bigstar$ Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , στο οποίο γνωρίζουμε τις δύο διαμέσους

και . Αν είναι το βαρύκεντρό του , υπολογίστε και το μήκος του τμήματος .

Έστω $BD=2m_{b}$ και

το μέσον του

Επί της

θεωρούμε σημείο

ώστε

Κατασκευάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου

και τον κύκλο $(G, \dfrac{2}{3} m_{c} )$

Αν τέμνονται έστω στο

και

συμμετρικό του

ως προς

, το

είναι το ζητούμενο τρίγωνο

Η απόδειξη είναι απλή.Αν το ημικύκλιο και ο κύκλος δεν τέμνονται ,το πρόβλημα δεν έχει λύση

: διαμεσικό πρόβλημα.png (97.74 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

Διαμεσικό πρόβλημα

Διαμεσικό πρόβλημα

Re: Διαμεσικό πρόβλημα

Re: Διαμεσικό πρόβλημα

Re: Διαμεσικό πρόβλημα

Re: Διαμεσικό πρόβλημα

Μέλη σε σύνδεση