Διάμεσος πάντα

#1

: Πάντα διάμεσος.png (9.24 KiB) Προβλήθηκε 2305 φορές

Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα BC = a

.

Γράφω το κύκλο $\left( {B,3a} \right)$ και έστω τυχαίο του σημείο

( Τα

όχι συνευθειακά )

Αν

διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ και η κάθετος στην

στο

τμήσει την

στο

, δείξετε ότι το

είναι μέσο του

.

24 ώρες για τους μαθητές ( Μικροί μεν, Μεγάλα «σαΐνια» δε )

Ορέστης Λιγνός · #2

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 28, 2020 1:12 pm

Πάντα διάμεσος.png
Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα .

Γράφω το κύκλο $\left( {B,3a} \right)$ και έστω τυχαίο του σημείο ( Τα όχι συνευθειακά )

Αν διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ και η κάθετος στην στο τμήσει την στο , δείξετε ότι το είναι μέσο του .

24 ώρες για τους μαθητές ( Μικροί μεν, Μεγάλα «σαΐνια» δε )

Γεια σας κ.Νίκο! Καλό καλοκαίρι!

Έστω ότι η

τέμνει την

στο

. Στο $\vartriangle MBK$ η

είναι και ύψος και διχοτόμος, άρα BM=BK

.

Από το Θ.Μενελάου στο $\vartriangle ABC$ με διατέμνουσα την $\overline{MDK}$ προκύπτει ότι $\dfrac{MB}{MA} \cdot \dfrac{DA}{DC} \cdot \dfrac{KC}{KB}=1$ , ή αλλιώς $\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{MA}{KC}$ .

Από το Θ.Διχοτόμου στο $\vartriangle ABC$ είναι $\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=3$ , οπότε η προηγούμενη σχέση δίνει MA=3KC

.
Όμως,

$\Rightarrow MA=6a-3AM \Rightarrow MA=3a/2=AB/2$ , οπότε το

είναι το μέσον της

.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #3

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 28, 2020 1:12 pm
Πάντα διάμεσος.png

Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα .

Γράφω το κύκλο $\left( {B,3a} \right)$ και έστω τυχαίο του σημείο ( Τα όχι συνευθειακά )

Αν διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ και η κάθετος στην στο τμήσει την στο , δείξετε ότι το είναι μέσο του .

24 ώρες για τους μαθητές ( Μικροί μεν, Μεγάλα «σαΐνια» δε )

Καλησπέρα σας κ.Νίκο.

Ας είναι

η προβολή του

πάνω στην

. Έστω επίσης ότι η προέκταση της

ως προς το

τέμνει την

στο

.Τότε από γνωστό πρόβλημα είναι:
$\frac{BT}{TD}=\frac{AB+BC}{AB-BC}=\frac{4a}{2a}=2$
Επίσης το τρίγωνο BCE

είναι ισοσκελές με BE=BC=a

.Ακόμη

, άρα από το θεώρημα του Θαλή έχω:

$\frac{BT}{TD}=\frac{BE}{EM}=2\Rightarrow EM=\frac{BE}{2}=\frac{a}{2}$
Επομένως $BM=\frac{3a}{2}$ και το ζητούμενο έπεται.

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 28, 2020 2:10 pm

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 28, 2020 1:12 pm
Πάντα διάμεσος.png

Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα .

Γράφω το κύκλο $\left( {B,3a} \right)$ και έστω τυχαίο του σημείο ( Τα όχι συνευθειακά )

Αν διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ και η κάθετος στην στο τμήσει την στο , δείξετε ότι το είναι μέσο του .

24 ώρες για τους μαθητές ( Μικροί μεν, Μεγάλα «σαΐνια» δε )
Καλησπέρα σας κ.Νίκο.

Ας είναι η προβολή του πάνω στην . Έστω επίσης ότι η προέκταση της
ως προς το τέμνει την στο .Τότε από γνωστό πρόβλημα είναι:
$\frac{BT}{TD}=\frac{AB+BC}{AB-BC}=\frac{4a}{2a}=2$ ...

Μάλλον χρειάζεται απόδειξη αυτό.

p_gianno · #5

: δια μέσου.png (40.9 KiB) Προβλήθηκε 2197 φορές

Θεωρώ σημείο

επί της

έτσι ώστε

.

Τότε

διχοτόμος της γωνίας

του ισοσκελούς άρα και ύψος, συνεπώς $CH//MD \rightarrow DC:DA=MH:MA$

Από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου BC:BA=DC:DA=MH:MA=1:3

Συνεπώς $AH =2/3 AB=2a \rightarrow MH=1/4 AH=1/4 \cdot 2a=a/2$

Επομένως BM=BH+HM=a+a/2=3a/2

άρα

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #6

Παραθέτω πρώτα το λήμμα και ύστερα θα γραψω και την απόδειξή του.

ΛΗΜΜΑ

Έστω σκαληνό τριγωνο ABC

, με

και ας είναι

η διχοτόμος της γωνίας $\angle{A}$ .
Έστω επίσης

η προβολή του

πάνω στην

. Τότε ισχύει ότι

$\frac{AE}{ED}=\frac{AC+AB}{AC-AB}$

#7

Έστω

το μέσο του BM.

Εύκολα προκύπτει ότι NT||BC

: Διάμεσος πάντα.png (11.62 KiB) Προβλήθηκε 2175 φορές

$\displaystyle \frac{{AN}}{{3a}} = \frac{{NT}}{a} \Leftrightarrow \frac{{AN}}{{MB/2}} = 3 \Leftrightarrow 2AN = 3MB$ και το ζητούμενο έπεται.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 28, 2020 1:12 pm
Πάντα διάμεσος.png

Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα .

Γράφω το κύκλο $\left( {B,3a} \right)$ και έστω τυχαίο του σημείο ( Τα όχι συνευθειακά )

Αν διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ και η κάθετος στην στο τμήσει την στο , δείξετε ότι το είναι μέσο του .

24 ώρες για τους μαθητές ( Μικροί μεν, Μεγάλα «σαΐνια» δε )

Για κάθε σημείο

του κύκλου (B,3a)

που δεν ανήκει στην

,η

τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου BZ=3a

στο

Με

μέσον του

η $OD \bot BE$ προφανώς διέρχεται πάντα από το μέσον της

και

διχοτόμος της γωνίας CBA

Επειδή ο Μενέλαος δίνει $\dfrac{ZC}{CB} . \dfrac{DB}{DE} . \dfrac{AE}{AZ}=2 . 1 . \dfrac{1}{2}=1 \Rightarrow A,D,C$ συνευθειακά

: διάμεσος πάντα.png (33.91 KiB) Προβλήθηκε 2160 φορές

#9

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 29, 2020 1:18 pm
Παραθέτω πρώτα το λήμμα και ύστερα θα γραψω και την απόδειξή του.

ΛΗΜΜΑ

Έστω σκαληνό τριγωνο , με και ας είναι η διχοτόμος της γωνίας $\angle{A}$ .
Έστω επίσης η προβολή του πάνω στην . Τότε ισχύει ότι

$\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{AC+AB}{AC-AB}$

Ας δούμε μια λύση του λήμματος του Δημήτρη για να μην υπάρχει κανενός είδους "χάσμα" στις όμορφες λύσεις όλων σας .

: Πάντα διαάμεσος λήμμα.png (16.19 KiB) Προβλήθηκε 2113 φορές

Αν η ευθεία

τμήσει την

στο

, το τρίγωνο ABZ

είναι ισοσκελές γιατί η διχοτόμος του

είναι και ύψος;.

Έτσι θα είναι: $AZ = AB = c\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZC = AC - AZ = b - c$ .

Από το Θ. διχοτόμου ισχύει : $\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{c}{b} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BD + DC}} = \dfrac{c}{{b + c}} \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{BC}} = \dfrac{c}{{b + c}}\,\,\,\left( 1 \right)$

Από Θ. Μενέλαου στο $\vartriangle ADC$ με διατέμνουσα $\overline {BEZ}$ ισχύει :

$\dfrac{{AE}}{{ED}} \cdot \dfrac{{DB}}{{BC}} \cdot \dfrac{{CZ}}{{ZA}} = 1$ , οπότε και λόγω της $\left( 1 \right)$ γίνεται :

$\dfrac{{AE}}{{ED}} \cdot \dfrac{c}{{b + c}} \cdot \dfrac{{b - c}}{c} = 1 \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{{AE}}{{ED}} = \dfrac{{b + c}}{{b - c}}}$ .

#10

Αλλιώς για το Λήμμα. Έστω

το μέσο του ZC.

: Λήμμα ΦΑ.png (12.98 KiB) Προβλήθηκε 2104 φορές

$\displaystyle \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{EM}}{{DC}} = \frac{a}{{2DC}} \Leftrightarrow \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{a}{{2DC - a}} = \dfrac{a}{{2\dfrac{{ab}}{{b + c}} - a}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{b + c}}{{b - c}}}$

#11

Ας δούμε μια ακόμη λύση του λήμματος αυτύ

: Πάντα διαάμεσος λήμμα_new.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 2087 φορές

Φέρνω την εξωτερική διχοτόμο

του $\vartriangle ABC$ .

Επειδή SA/BE

( σαν κάθετες στην

) θα ισχύει :

$\boxed{\dfrac{{AE}}{{ED}} = \dfrac{{SB}}{{BD}} = \dfrac{{\dfrac{{ac}}{{b - c}}}}{{\dfrac{{ac}}{{b + c}}}} = \dfrac{{b + c}}{{b - c}}}$

p_gianno · #12

: Λήμμα.png (28.54 KiB) Προβλήθηκε 2056 φορές

Άλλη μια προσέγγιση του λήμματος

BB’//AD//ZZ’

τότε

και επειδή $BE=EZ \rightarrow BD=DZ’$

AE : ED=(2AE) : (2ED) =BB’ : ZZ’ =CB’ : CZ = (b+c) : (b-c)

#13

Ας είναι

η εξωτερική διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ . Επειδή : $EB\, \bot BD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MD \bot BD$ θα είναι : $EB//DM\,\,\left( 1 \right)$ .

Τα σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ είναι αρμονικά συζυγή των $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A$ .

Αν θέσω : $DC = k \Rightarrow DA = 3k$ και έστω : EC = x

.

: Διάμεσος πάντα λύση.png (17.52 KiB) Προβλήθηκε 2007 φορές

Από την αρμονική αναλογία: $\dfrac{{CE}}{{CD}} = \dfrac{{AE}}{{AD}} \Rightarrow \dfrac{x}{k} = \dfrac{{4k + x}}{{3k}} \Rightarrow 3x = 4k + x \Rightarrow \boxed{x = 2k}$

Έτσι θα είναι: ED = DA = 3k

και λόγω της $\left( 1 \right)$ αναγκαστικά το

θα είναι μέσο του

.

Διάμεσος πάντα

Διάμεσος πάντα

Re: Διάμεσος πάντα

Re: Διάμεσος πάντα

Re: Διάμεσος πάντα

Re: Διάμεσος πάντα

Re: Διάμεσος πάντα

Re: Διάμεσος πάντα

Re: Διάμεσος πάντα

Re: Διάμεσος πάντα

Re: Διάμεσος πάντα

Re: Διάμεσος πάντα

Re: Διάμεσος πάντα

Re: Διάμεσος πάντα

Μέλη σε σύνδεση