Ίσα τμήματα 1

#1

: Ίσα τμήματα 1.png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 1431 φορές

Έστω

το μέσο της πλευράς

τριγώνου

και

οι προβολές του στις AB,
AC

αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου (A, E, M, F)

στα

τέμνονται στο

Να δείξετε ότι SB=SC

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω το μέσο της πλευράς τριγώνου και οι προβολές του στις αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου στα τέμνονται στο Να δείξετε ότι

Καλημέρα...

Ας είναι $\displaystyle{H,I}$ οι προβολές του $\displaystyle{S}$ στις $\displaystyle{AB,AC}$ αντίστοιχα

Λόγω των εφαπτόμενων $\displaystyle{ES,FS}$ κι επειδή $\displaystyle{EM//HS,MF//SI}$ οι γωνίες $\displaystyle{x}$ όπως και οι $\displaystyle{y}$ θα είναι ίσες

Άρα $\displaystyle{\vartriangle AEM \cong \vartriangle ESH}$ και $\displaystyle{\vartriangle AFM \cong \vartriangle SFI}$ οπότε $\displaystyle{\frac{{AM}}{{ES}} = \frac{{EM}}{{EH}}}$ και $\displaystyle{\frac{{AM}}{{ES}} = \frac{{FM}}{{FI}}}$

Έτσι $\displaystyle{\frac{{EM}}{{MF}} = \frac{{EH}}{{FI}}(1)}$ .Αλλά $\displaystyle{2\left( {ABM} \right) = 2\left( {AMC} \right) \Rightarrow AB \cdot EM = AC \cdot MF \Rightarrow \frac{{EM}}{{MF}} = \frac{{AC}}{{AB}}(2)}$

Από $\displaystyle{(1),(2) \Rightarrow \boxed{\frac{{AB}}{{FI}} = \frac{{AC}}{{EH}}}}$ και σύμφωνα με το θεώρημα Στάθη Κούτρα $\displaystyle{ \Rightarrow SM \bot BC \Rightarrow \boxed{SB = SC}}$

: Ίσα τμήματα.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 1378 φορές

#3

george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω το μέσο της πλευράς τριγώνου και οι προβολές του στις αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου στα τέμνονται στο Να δείξετε ότι

: ϊσα τμήματα 1_new.png (37.05 KiB) Προβλήθηκε 1328 φορές

Έστω $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ οι τομές των ευθειών $FM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM$ με τις ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$

αντίστοιχα . Τότε προφανώς το τετράπλευρο ETPF

είναι εγγράψιμο και μάλιστα

διαμέτρου

και κέντρου

. Η ευθεία

τέμνει το ημικύκλιο στα ${B_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{C_1}$ και

θα είναι λόγω του Θ της πεταλούδας το

μέσω και της χορδής ${B_1}{C_1}$ οπότε η

είναι μεσοκάθετος στο ${B_1}{C_1}$ και στο

άρα

.

#4

Doloros έγραψε:
george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω το μέσο της πλευράς τριγώνου και οι προβολές του στις αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου στα τέμνονται στο Να δείξετε ότι

ϊσα τμήματα 1_new.png

Έστω $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ οι τομές των ευθειών $FM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM$ με τις ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$

αντίστοιχα . Τότε προφανώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και μάλιστα

διαμέτρου και κέντρου . Η ευθεία τέμνει το ημικύκλιο στα ${B_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{C_1}$ και

θα είναι λόγω του Θ της πεταλούδας το μέσω και της χορδής ${B_1}{C_1}$ οπότε η

είναι μεσοκάθετος στο ${B_1}{C_1}$ και στο άρα .

#5

rek2 έγραψε:
Doloros έγραψε:
george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω το μέσο της πλευράς τριγώνου και οι προβολές του στις αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου στα τέμνονται στο Να δείξετε ότι

ϊσα τμήματα 1_new.png

Έστω $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ οι τομές των ευθειών $FM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM$ με τις ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$

αντίστοιχα . Τότε προφανώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και μάλιστα

διαμέτρου και κέντρου . Η ευθεία τέμνει το ημικύκλιο στα ${B_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{C_1}$ και

θα είναι λόγω του Θ της πεταλούδας το μέσω και της χορδής ${B_1}{C_1}$ οπότε η

είναι μεσοκάθετος στο ${B_1}{C_1}$ και στο άρα .

Σ ευχαριστώ ομορφόπαιδο από καρδιάς!

#6

Ευχαριστώ το Μιχάλη και το Νίκο για τις εντυπωσιακές λύσεις τους! Ας δούμε και μία στοιχειώδη προσέγγιση.
Φέρνω από το

κάθετη στην

που τέμνει τις AB, AC

στα

και έστω

το κοινό σημείο των AM, B'C'.

: Ίσα τμήματα 1.b.png (25.43 KiB) Προβλήθηκε 1205 φορές

Από τις εφαπτόμενες και από τα εγγράψιμα τετράπλευρα MEB'S, MFC'S

οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και το ίδιο συμβαίνει

και με τις πράσινες. Άρα οι NB', NC'

εφάπτονται αντίστοιχα στους κύκλους (A, M, B'), (A, M, C'),

απ' όπου προκύπτει ότι

το

είναι μέσο του B'C'

κι επειδή το

είναι μέσο του BC,

θα είναι

άρα η

είναι μεσοκάθετη του

και

το ζητούμενο έπεται.

Ίσα τμήματα 1

Ίσα τμήματα 1

Re: Ίσα τμήματα 1

Re: Ίσα τμήματα 1

Re: Ίσα τμήματα 1

Re: Ίσα τμήματα 1

Re: Ίσα τμήματα 1

Μέλη σε σύνδεση