mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 03, 2025 4:04 pm**

Να αποδείξετε ότι $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 2(xy - 1)(x + y)$ , για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x, y.

Για ποιες ακέραιες τιμές των x, y

ισχύει η ισότητα;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 13, 2025 8:25 am**

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 03, 2025 4:04 pm
Να αποδείξετε ότι $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 2(xy - 1)(x + y)$ , για όλους τους πραγματικούς αριθμούς
Για ποιες ακέραιες τιμές των ισχύει η ισότητα;

.
Ισοδύναμα (άμεσο) $x^2y^2-2x^2y-2xy^2+x^2+y^2+2x+2y+1 \ge 0$ ή αλλιώς $(xy-x-y-1)^2\ge 0$ , που ισχύει.

Έχουμε ισότητα όταν $xy-x-y-1=0\, (*)$ . Ειδικά είναι $y\ne 1$ αφού αυτή η τιμή δίνει -2=0

. H

λοιπόν δίνει ισοδύναμα $x=1+ \dfrac {2}{y-1}$ . Άρα οι δυνατές τιμές στους ακεραίους $x, \, y$ περιορίζονται στις περιπτώσεις $y-1= \pm 1, \pm 2$ . Π.χ. για την y-1=1