Μ.Κ.Δ

#1

Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ των αριθμών:

$\displaystyle{2027^7 +2027^5 +2027^3 +3 }$ , και $\displaystyle{15}$ .

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 26, 2023 6:48 pm
Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ των αριθμών:

$\displaystyle{2027^7 +2027^5 +2027^3 +3 }$ , και $\displaystyle{15}$ .

α) Αφού

η παράσταση είναι της μορφής

(3M-1)^7+(3M-1)^5+ (3M-1)^3+3 = (3M_1-1) +(3M_2-1)+ (3M_3-1) +3= 3N+0

,

δηλαδή είναι πολλαπλάσιο του

.

β) Επειδή τα τελευταία ψηφία των αριθμών $2027^3, \, 2027^5, \, 2027^7$ είναι αντίστοιχα $3, \, 7, \, 3$ και 3+7+3+3 = 16

σημαίνει ότι το τελειταίο ψηφίο του δοθέντα είναι

, Δηλαδή δεν είναι πολλαπλάσιο του

.

Άρα τα κοινά πολλαπλασια του δοθέντα και του $15=3\cdot 5$ είναι τα

και

. Άρα ο Μ.Κ.Δ. τους είναι ο

.

#3

Ένας ακόμα τρόπος να δείξουμε ότι ο αριθμός μας είναι πολλαπλάσιο του

:

$\displaystyle{2027^7 +2027^5 +2027^3 +3 =}$

$\displaystyle{2027^7 + 2027^6 - 2027^6 - 2027^5 +2. 2027^5 + 2. 2027^4 - 2. 2027^4 - 2. 2027^3 +}$

$\displaystyle{3. 2027^3 + 3. 2027^2 - 3. 2027^2 -3. 2027 + 3. 2027 +3=}$

$\displaystyle{2027^6 (2027+1)- 2027^5 (2027+1) +2.2027^4 (2027+1) -2. 2027^3 (2027 +1) +}$

$\displaystyle{3.2027^2 (2027+1) - 3. 2027(2027+1) + 3(2027+1)=}$

$\displaystyle{2028.(2027^6 - 2027^5 +2.2027^4 - 2.2027^3 +3.2027^2 -3.2027 +3 )= 2028k}$

όπου $\displaystyle{k\in Z}$

Αλλά ο αριθμός $\displaystyle{2028}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ , αφού $\displaystyle{2+0+2+8=12}$ .

Άρα δείξαμε ότι ο αρχικός μας αριθμός είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$

Μ.Κ.Δ

Μ.Κ.Δ

Re: Μ.Κ.Δ

Re: Μ.Κ.Δ

Μέλη σε σύνδεση