ΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Την παρακάτω εξίσωση τη σκέφτηκα στο γραφείο των καθηγητών σήμερα το πρωί.

Να λυθεί η εξίσωση

$\left ( x^{2}+3x+2 \right )^{3}-\left ( 4x^{2}-4x+1 \right )^{3}=\left ( -3x^{2}+7x+1 \right )^{3}$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 09, 2023 10:49 am
Την παρακάτω εξίσωση τη σκέφτηκα στο γραφείο των καθηγητών σήμερα το πρωί.

Να λυθεί η εξίσωση

$\left ( x^{2}+3x+2 \right )^{3}-\left ( 4x^{2}-4x+1 \right )^{3}=\left ( -3x^{2}+7x+1 \right )^{3}$

Ωραία άσκηση Τηλέμαχε!

Θέτω 4x^2-4x+1=a, -3x^2+7x+1=b,

οπότε

Θα χρησιμοποιήσω την ταυτότητα $\displaystyle {a^3} + {b^3} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b).$

Άρα η εξίσωση γράφεται, $\displaystyle {(a + b)^3} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b) \Leftrightarrow 3ab(a + b) = 0$

Έχουμε λοιπόν 4x^2-4x+1=0,

ή

Συνολικά οι ρίζες είναι $x=\dfrac{1}{2}$ (διπλή ρίζα), $\displaystyle x = \frac{{7 \pm \sqrt {61} }}{6},$ x=-1, x=-2.

#3

Αλλιώς, πιο απλά.

Αν A=x^2+3x+2, B=-4x^2+4x-1, C=3x^2-7x-1,

εύκολα διαπιστώνουμε ότι A+B+C=0,

οπότε:

$\displaystyle {A^3} + {B^3} + {C^3} = 0 \Leftrightarrow 3ABC = 0,$ κλπ.

ΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ ...

ΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ ...

Re: ΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ ...

Re: ΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ ...

Μέλη σε σύνδεση