Για μαθητές μία διοφαντική

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

cool geometry
Δημοσιεύσεις: 292
Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am

Για μαθητές μία διοφαντική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cool geometry » Κυρ Αύγ 14, 2022 4:17 pm

Να λυθεί στους φυσικούς αριθμούς η εξίσωση ab+bc+ac-abc=3.



Λέξεις Κλειδιά:
Joaakim
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Για μαθητές μία διοφαντική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Κυρ Αύγ 14, 2022 4:44 pm

cool geometry έγραψε:
Κυρ Αύγ 14, 2022 4:17 pm
Να λυθεί στους φυσικούς αριθμούς η εξίσωση ab+bc+ac-abc=3.
Wlog. a \geq b \geq c. Έστω c \geq 3.
Τότε ab+bc+ca>abc \Rightarrow 1<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{3}{c}  \leq 1, άτοπο.
Αν c=2, τότε 2a+2b-ab=3 \Rightarrow (a-2)(b-2)=1 \Rightarrow a=b=3, αφού a,b>1.
Αν πάλι c=1, τότε a+b=3 \Rightarrow a=2, b=1, ή, a=1, b=2.
Tελικά (a,b,c)=(3,3,2) και (a,b,c)=(2,1,1) και οι αναδιατάξεις.


cool geometry
Δημοσιεύσεις: 292
Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am

Re: Για μαθητές μία διοφαντική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cool geometry » Κυρ Αύγ 14, 2022 4:51 pm

Joaakim έγραψε:
Κυρ Αύγ 14, 2022 4:44 pm
cool geometry έγραψε:
Κυρ Αύγ 14, 2022 4:17 pm
Να λυθεί στους φυσικούς αριθμούς η εξίσωση ab+bc+ac-abc=3.
Wlog. a \geq b \geq c. Έστω c \geq 3.
Τότε ab+bc+ca>abc \Rightarrow 1<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{3}{c}  \leq 1, άτοπο.
Αν c=2, τότε 2a+2b-ab=3 \Rightarrow (a-2)(b-2)=1 \Rightarrow a=b=3, αφού a,b>1.
Αν πάλι c=1, τότε a+b=3 \Rightarrow a=2, b=1, ή, a=1, b=2.
Tελικά (a,b,c)=(3,3,2) και (a,b,c)=(2,1,1) και οι αναδιατάξεις.
:first: :10sta10:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης