Γινόμενο πρώτων

#1

Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός $\displaystyle{k}$ , ώστε ο αριθμός: $\displaystyle{4^k - 1}$ , να γράφεται ως γινόμενο δύο πρώτων αριθμών.

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 15, 2021 12:58 pm
Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός $\displaystyle{k}$ , ώστε ο αριθμός: $\displaystyle{4^k - 1}$ , να γράφεται ως γινόμενο δύο πρώτων αριθμών.

Aπάντηση: Ο k=2

και μόνον αυτός.

Είναι 4^1-1=3

(δεν μας κάνει) και $4^2-1=3\times 5$ (μας κάνει). Για $k\ge 3$ κάνενας δεν μας κάνει αφού ο

$4^k-1=(2^k-1)(2^k+1) \,(*)$ και παρατηρούμε ότι

α) Για άρτιο

, έστω

, o

έχει έχει τουλάχιστον δύο πρώτους παράγοντες, έναν για κάθε παράγοντά του. Άρα ο αρχικός (*)

έχει τουλάχιστον τρεις πρώτους παράγοντες.

β) Για περιττό

ο $2^k+1= (2+1)(2^{k-1}-2^{k-2}+... +1)$ έχει τουλάχιστον δύο πρώτους παράγοντες: Ένας είναι ο

και άλλος ένας είναι διαιρέτης του δεύτερου παράγοντα. Άρα ο αρχικός (*)

έχει τουλάχιστον τρεις πρώτους παράγοντες.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 15, 2021 3:53 pm
$4^k-1=(2^k-1)(2^k+1) \,(*)$ και παρατηρούμε ότι

Λίγο διαφορετικό από αυτό το σημείο και μετά: Ο 2^k

δεν είναι πολλαπλάσιο του

άρα τουλάχιστον ένας από τους 2^k-1,2^k+1

πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του

. Τότε θα είναι και γινόμενο τουλάχιστον δύο πρώτων εκτός και αν k = 1,2

.

S.E.Louridas · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 15, 2021 12:58 pm
Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός $\displaystyle{k}$ , ώστε ο αριθμός: $\displaystyle{4^k - 1}$ , να γράφεται ως γινόμενο δύο πρώτων αριθμών.

Έχουμε

. Oι αριθμοί ${2^k } - {1,2^k }{,2^k } + 1$ είναι διαδοχικοί, επομένως από γνωστή βασική πρόταση παίρνουμε $3|({2^k } - 1){2^k }({2^k } + 1) \Rightarrow 3|({2^k } - 1)({2^k } + 1),$ οπότε καταλήγουμε ότι η μοναδική τιμή είναι k = 2.

Αυτό επειδή για k=2

το γινόμενο είναι το $3\cdot5$ που το δεχόμαστε, αν $k \geqslant 3$ έχουμε: $k = 2\nu \Rightarrow$ $2^k-1= {4^\nu } - 1 =(4-1)h= \pi o\lambda \lambda .3>3,\;k = 2\nu + 1 \Rightarrow$ $2^k+1 ={2^{2\nu + 1}} + 1 =(2+1)t= \pi o\lambda \lambda .3>3,$
που δεν είναι συμβατά με το ζητούμενο. Επειδή βέβαια ο αριθμός

δεν είναι πρώτος η τιμή k=1

απορρίπτεται. Άρα η μόνη αποδεκτή τιμή είναι η k=2.

Γινόμενο πρώτων

Γινόμενο πρώτων

Re: Γινόμενο πρώτων

Re: Γινόμενο πρώτων

Re: Γινόμενο πρώτων

Μέλη σε σύνδεση