Μήνυμα από το 112

KARKAR · #1

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη των θετικών ακεραίων (k, n)

, τα οποία

επαληθεύουν την ισότητα : $\sqrt{k-113}+\sqrt{k+112}= n$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 16, 2023 10:20 am
Να βρεθούν όλα τα ζεύγη των θετικών ακεραίων , τα οποία

επαληθεύουν την ισότητα : $\sqrt{k-113}+\sqrt{k+112}= n$ .

Είναι γνωστό ότι πρώτα απ' όλα οι $\sqrt{k-113}$ και $\sqrt{k+112}$ πρέπει να είναι και οι δύο ακέραιοι. Την αιτία την έχουμε δει, για παράδειγμα, στο θρεντ εδώ.

Άρα για κάποιους θετικούς ακεραίους m, p

θα έχουμε

και

(βέβαια είναι τότε p>m

). Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε

225= p^2-m^2=(p-m)(p+m)

. Έπεται, δεδομένου ότι οι διαιρέτες του 225 είναι οι $1, 3, 5, 9, 15, 25, \, 45, \, 75, \, 225$ , και αφού p+m/ge p-m

έχουμε τις εκδοχές

α) $p-m=1, \, p+m=225$ (άρα $p=113, \, m=112$ το δε

είναι το άθροισμά τους, εδώ n=225

)
β)

(άρα $p=39 , \, m=36$ και n=75

)
γ) $p-m=5, \, p+m= 45$ (άρα $p=25, \, m=20$ και n=45

)
δ) $p-m= 9, \, p+m=25$ (άρα $p=17, \, m=8$ και n=25

)
ε) ${\color {red} p-m= 15, \, p+m=15}$ (άρα $p=15, \, m=0$ και n=15

) (το πρόσθεσα αργότερα).

Έτσι βρίσκουμε διαδοχικά α) k= p^2-112=113^2-112=12657

, β)

, γ)

, δ)

και ε)

$Edit: Έκανα την παραπάνω προσθήκη. Βλέπε την επισήμανση του Θανάση στο επόμενο ποστ, τον οποίο ευχαριστώ. Πραγματικά μου είχε ξεφύγει η περίπτωση ε).

KARKAR · #3

Μια μικρή αβλεψία στην λύση του Μιχάλη , μας στέρησε το ζεύγος : (k , n ) =(113 , 15)

.

Εύκολα συμπληρώνεται ...

Μήνυμα από το 112

Μήνυμα από το 112

Re: Μήνυμα από το 112

Re: Μήνυμα από το 112

Μέλη σε σύνδεση