Άσκηση συνδυαστικής

[Michalis_]

Να υπολογίσετε το πλήθος των τριψήφιων αριθμών, ώστε το πρώτο τους ψηφίο να είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο και το δεύτερο τους ψηφίο να
είναι μεγαλύτερο από το τρίτο.

[Mihalis_Lambrou]

Να υπολογίσετε το πλήθος των τριψήφιων αριθμών, ώστε το πρώτο τους ψηφίο να είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο και το δεύτερο τους ψηφίο να
είναι μεγαλύτερο από το τρίτο.

Kαλώς ήλθες στο φόρουμ.

Σε ποιο ακριβώς σημείο κόλλησες; Η άσκηση είναι αρκετά απλή με απαρίθμηση.

Μήπως η άσκηση είναι από μαθήματα που παρακολουθείς; Σε αυτή την περίπτωση πρέπει να πεισθούμε ότι έκανες ουσιαστική προσπάθεια να την λύσεις. Γράψε μας τι έκανες.

[Michalis_]

Είναι άσκηση του βιβλίου της Γ' λυκείου κατεύθυνσης της Κύπρου. Εγω σκέφτηκα ότι στη θέση των εκατοντάδων μπορούν να μπούν τα ψηφία 2-9 εφόσον αν μπει το 1 η το 0 μετά δεν θα ισχύει αυτό που ζητά η εκφώνηση. Ομοίως, στη θέση των δεκάδων μπορούν να μπούν τα ψηφία 1-8 και στη θέση των μονάδων 0-7. Πώς όμως μπορώ με απαρίθμηση να βρω όλους τους τριψήφιους ώστε το ψηφίο των εκατοντάδων να είναι μεγαλύτερο από των δεκάδων και το ψηφίο των δεκάδων μεγαλύτερο από των μονάδων.

[Mihalis_Lambrou]

... Ομοίως, στη θέση των δεκάδων μπορούν να μπούν τα ψηφία 1-8 ...

Όχι ακριβώς. Το ψηφίο των δεκάδων εξαρτάται από το ψηφίο των εκατοντάδων.

Ως υπόδειξη κάνε το εξής: α) Αν το ψηφίο των εκατοντάδων είναι το , πόσοι αριθμοί υπάρχουν όπως ζητά η άσκηση ; β) Αν είναι το , πόσοι υπάρχουν;

Από αυτά θα καταλάβεις τον τρόπο που θα κάνεις την απαρίθμηση, χωρίς υπερβολικό κόπο.

[Michalis_]

Αν βάλω για παραδειγμά στη θέση των εκατοντάδων το 9, σημαίνει στη θέση των δεκάδων μπορεί να μπει ένας αριθμός από το 1-8. Όμως αυτό που δεν μπορώ να καταλάβω είναι πως μπορώ να ξέρω οτι το ψηφίο των δεκάδων θα είναι σίγουρα μεγαλύτερο από το ψηφίο των μονάδων; Για παράδειγμα αν βαλώ το 9 και μετά μπει στη θέση των δεκάδων για παράδειγμα το 5, πώς μπορώ να ξέρω οτι στη θέση των μονάδων δε θα μπει για παράδειγμα το 6 ή το 7;

[Mihalis_Lambrou]

...πως μπορώ να ξέρω οτι το ψηφίο των δεκάδων θα είναι σίγουρα μεγαλύτερο από το ψηφίο των μονάδων...

Πνίγεσαι σε μία κουταλιά νερό.

Δεν το ξέρεις αν θα είναι μεγαλύτερο ή όχι το ψηφίο των μονάδων. Γι' αυτό μετράς ΠΟΣΑ είναι αυτά που έχουν την ζητούμενη ιδιότητα.

[Michalis_]

Πώς, όμως; Προσπαθώ να καταλάβω πως να εφαρμόσω την αρχή της απαρίθμησης αλλά για να μπορώ να την εφαρμόσω πρέπει να ξέρω με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω ένα ψηφίο σε κάθε θέση. Για παράδειγμα το ψηφίο των εκατοντάδων μπορώ να το επιλέξω με 8 τρόπους (2-9) αλλά μετά στη θέση των δεκάδων αν γράψω οτι υπάρχουν και εκεί 8 επιλογές (1-8) αυτό δεν θα στέκει γιατί μπορεί να έχω για παράδειγμα 670. Πώς μπορώ να αποφύγω αυτού του είδους των περιπτώσεων;

[mick7]

Αυτή είναι η λίστα με τους ζητούμενους αριθμούς...Σύνολο

210, 310, 320, 321, 410, 420, 421, 430, 431, 432, 510, 520, 521, 530, 531, 532, 540, 541, 542, 543, 610, 620, 621, 630, 631, 632, 640, 641, 642, 643, 650, 651, 652, 653, 654, 710, 720, 721, 730, 731, 732, 740, 741, 742, 743, 750, 751, 752, 753, 754, 760, 761, 762, 763, 764, 765, 810, 820, 821, 830, 831, 832, 840, 841, 842, 843, 850, 851, 852, 853, 854, 860, 861, 862, 863, 864, 865, 870, 871, 872, 873, 874, 875, 876, 910, 920, 921, 930, 931, 932, 940, 941, 942, 943, 950, 951, 952, 953, 954, 960, 961, 962, 963, 964, 965, 970, 971, 972, 973, 974, 975, 976, 980, 981, 982, 983, 984, 985, 986, 987

[Mihalis_Lambrou]

Φυσικά μπορούμε να τους μετρήσουμε χωρίς την κοπιαστική πλήρη καταγραφή. Για να μην χαλάσω την λύση απλά επισημαίνω ότι απάντηση είναι

[Michalis_]

Σας ευχαριστώ που με βοηθήσατε, καλή συνέχεια!

[Mihalis_Lambrou]

Σας ευχαριστώ που με βοηθήσατε, καλή συνέχεια!

Να 'σαι καλά.

Αν μας πεις τον συλλογισμό σου, θα σου γράψω (αν χρειαστεί) τι έχω κατά νου για μία κάπως οικονομική λύση.

[Mihalis_Lambrou]

Φυσικά μπορούμε να τους μετρήσουμε χωρίς την κοπιαστική πλήρη καταγραφή. Για να μην χαλάσω την λύση απλά επισημαίνω ότι απάντηση είναι

Σας ευχαριστώ που με βοηθήσατε, καλή συνέχεια!

Να 'σαι καλά.

Αν μας πεις τον συλλογισμό σου, θα σου γράψω (αν χρειαστεί) τι έχω κατά νου για μία κάπως οικονομική λύση.

Δεν φαίνεται να υπάρχει ενδιαφέρον από τον θεματοθέτη για την ερώτηση που υπέβαλε, οπότε ας ολοκληρώσω. Θα είμαι λίγο αναλυτικός αφού απευθύνομαι σε μαθητή που δυσκολεύτηκε με το θέμα.

Ας υποθέσουμε ότι το μεσαίο ψηφίο είναι, λέω τώρα, το . Πόσους αριθμούς έχουμε σαν και αυτούς που ζητά η άσκηση;

Δεξιά του μπορεί να μπει οποιοδήποτε από τα επτά ψηφία . Αριστερά του μπορεί να μπει οποιοδήποτε από τα δύο ψηφία . Άρα το σύνολο των δεκτών αριθμών που έχουν μεσαίο ψηφίο είναι .

Γενικά, όταν το μεσαίο ψηφίο είναι , τότε οι δεκτοί αριθμοί σε πλήθος είναι .

Με άλλα λόγια, αφού το μεσαίο ψηφίο είναι οποιοδήποτε από τα επιτρεπτά, δηλαδή τα , συμπεραίνουμε ότι το σύνολο αυτών των αριθμών είναι



(Η υπόδειξη που έδωσα αρχικά είναι ακριβώς αυτό το άθροισμα γραμμένο με σύμβολα).