Κανονικό επτάγωνο

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6848
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κανονικό επτάγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Αύγ 06, 2018 7:08 pm

Σε κανονικό επτάγωνο ABCDEZH να δείξετε ότι: \displaystyle \frac{{A{D^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{AC + 2AD}}{{AB + AD}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6083
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Κανονικό επτάγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Αύγ 07, 2018 1:59 am

Μια απόδειξη στην οποία παραλείπονται οι πράξεις και περιέχονται μόνο τα βασικά βήματα.

Ας ονομάσουμε \displaystyle{AC=x,AD=y} και ας υποθέσουμε ότι \displaystyle{AB=1.}

Εύκολα βρίσκουμε ότι

\displaystyle{\color{blue}\boxed{x=2\sin \frac{5\pi}{14}}}

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο \displaystyle{ACDE} βρίσκουμε ότι \displaystyle{x+y=xy.} (\displaystyle{\color{red}\spadesuit})

Η αποδεικτέα γράφεται \displaystyle{\left(\frac{x}{y}\right)^3=\frac{1+y}{x+2y}} που λόγω της (\displaystyle{\color{red}\spadesuit}) γίνεται, μετά τις πράξεις,

\displaystyle{x^3-x^2-2x+1=0.}

Εκτελώντας αποκυβισμό και αποτετραγωνισμό έχουμε να αποδείξουμε ότι

\displaystyle{\sin \frac{\pi}{14}-\sin \frac{3\pi}{14}+\sin \frac{5\pi}{14}=\frac{1}{2}.}

Αυτή γράφεται και ως

\displaystyle{\sin \frac{\pi}{14}+\sin \frac{9\pi}{14}+\sin \frac{17\pi}{14}=\frac{1}{2}.}

Πλέον, η διαδικασία είναι στάνταρ. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη αυτής επί \displaystyle{2\sin \frac{4\pi}{14}} και το αριστερό μέλος γίνεται τηλεσκοπικό άθροισμα.
Συνημμένα
heptagon.png
heptagon.png (17.73 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6848
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κανονικό επτάγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 09, 2018 6:49 pm

Αλλιώς. Θα χρησιμοποιήσω ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία: \displaystyle \widehat B = 2\widehat A \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} + ac
Κανονικό επτάγωνο.png
Κανονικό επτάγωνο.png (15.08 KiB) Προβλήθηκε 60 φορές
Θέτω AB=CD=a, AC=b, AD=c και η αποδεικτέα σχέση γράφεται: \displaystyle \frac{{{c^3}}}{{{b^3}}} = \frac{{b + 2c}}{{a + c}}

Από τις σχέσεις των γωνιών του τριγώνου ADC έχω b^2=a^2+ac και c^2=b^2+ab και από Πτολεμαίο στο ADEH:

a^2=c^2-bc και με πρόσθεση κατά μέλη των τριών σχέσεων, \boxed{bc=ac+ab} (1)

\displaystyle \frac{{{c^3}}}{{{b^3}}} = \frac{{{b^2}c + abc}}{{{a^2}b + abc}} = \frac{{bc + ac}}{{a(a + c)}}\mathop  = \limits^{(1)} \frac{{2ac + ab}}{{a(a + c)}} = \frac{{b + 2c}}{{a + c}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης