Από την εστία

[george visvikis]

Από την εστία.png (24.2 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές

Οι εφαπτόμενες στα σημεία μιας παραβολής τέμνονται στο ενώ οι εφαπτόμενες στα του κύκλου που

διέρχεται από τα σημεία τέμνονται στο Να δείξετε ότι η διέρχεται από την εστία της παραβολής.

[Al.Koutsouridis]

Από την εστία.png
Οι εφαπτόμενες στα σημεία μιας παραβολής τέμνονται στο ενώ οι εφαπτόμενες στα του κύκλου που

διέρχεται από τα σημεία τέμνονται στο Να δείξετε ότι η διέρχεται από την εστία της παραβολής.

Έστω και οι προβολές των σημείων και αντίστοιχα στην διευθετούσα της παραβολής. Τότε τα σημεία βρίσκονται σε κύκλο κέντρου . Πράγματι από την ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής η ευθεία είναι μεσοκάθετη του τμήματος . Άρα θα ιχύει . Ομοίως ιχύει , που αποδεικνύει την ζητούμενη ιδιότητα.

Εφόσον τα σημεία βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο το θα ισχύει, .

Έστω η κάθετη προς την διευθετούσα που διέρχεται από το , τότε η γωνία μεταξύ της και της ευθείας είναι ίση με την γωνία μεταξύ των ευθειών και , αφού και . Επειδή , θα είναι . Άρα .

Ομοίως αποδεικνύεται ότι . Οπότε τα τρίγωνα και είναι όμοια. Οπότε ισχύει , δηλαδή η ευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας .


Έστω το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Είναι



.

'Αρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά και εφόσον , η ευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας .

Επομένως τα σημεία και είναι συνευθειακά, που αποδεικνύει το ζητούμενο.

apo_thn_estia.png (207.05 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές

[Al.Koutsouridis]

Απλά να σημειώσουμε ότι η ιδίοτητα, η ευθεία που διέρχεται από την εστία (μία από τις εστίες) και το σημείο τομής εφαπτομένων από δυο σημεία της παραβολής να είναι διχοτόμος της γωνίας που ορίζουν οι ευθείες που διέρχονται από αυτά τα σημεία και την εστία (μία από τις εστίες), ισχύει γενικά για κωνική.

apo_thn_estia_elleipsh.png (123.13 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές

apo_thn_estia_ypervolh.png (137.52 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές

[george visvikis]

Οι εφαπτόμενες στα σημεία μιας παραβολής τέμνονται στο ενώ οι εφαπτόμενες στα του κύκλου που

διέρχεται από τα σημεία τέμνονται στο Να δείξετε ότι η διέρχεται από την εστία της παραβολής.

Αφού ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο για τη λύση του, θα δώσω μία άλλη προσέγγιση.

Από την εκφώνηση προκύπτει ότι η (αρχικό σχήμα) είναι η ευθεία της συμμετροδιαμέσου του τριγώνου

Αν λοιπόν είναι το σημείο τομής των αρκεί να δείξω ότι η είναι συμμετροδιάμεσος.

Από την εστία.β.png (17.49 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές

Φέρνω από το παράλληλη στον άξονα συμμετρίας της παραβολής που τέμνει την στο Θεωρείται γνωστό ότι τα

συμμετρικά της εστίας ως προς τις βρίσκονται στη διευθετούσα της παραβολής και οι

είναι κάθετες στη Είναι άρα η είναι μεσοκάθετη του οπότε το θα είναι μέσο του

Τέλος από το εγγράψιμο είναι Αλλά ως οξείες με πλευρές κάθετες

και το ζητούμενο έπεται.