ορθογώνιοι κύκλοι 1

#1

Από τα σημεία M, N

του ριζικού άξονα δύο μη τεμνόμενων κύκλων (K) , (K')

φέρνουμε τις εξωτερικές (ή εσωτερικές) εφαπτόμενές τους MA, MA', NB, NB'.

Να αποδειχτεί ότι τα σημεία A, A',B,B'

είναι ομοκυκλικά.

#2

: ορθογώνιοι κύκλοι_1.png (57.29 KiB) Προβλήθηκε 2630 φορές

Μια άποψη .

$JA \cdot JA' = JS \cdot JT = JB \cdot JB'$ σταθερό .

Κι αυτό γιατί η αντιστροφή με πόλο το σταθερό

( εξωτερικό κέντρο ομοιότητας )

Του κύκλου $\left( K \right)$ και δύναμη αντιστροφής $\boxed{{k^2} = JS \cdot JT}$ τον αντιστοιχίζει στον κύκλο $\left( {K'} \right)$ .

#3

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 03, 2021 5:18 pm
Από τα σημεία του ριζικού άξονα δύο μη τεμνόμενων κύκλων φέρνουμε τις εξωτερικές (ή εσωτερικές) εφαπτόμενές τους Να αποδειχτεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

: Ορθογώνιοι κύκλοι 1.png (25.5 KiB) Προβλήθηκε 2592 φορές

Ας δούμε και μια στοιχειώδη αντιμετώπιση (όχι πολύ μακριά από του Νίκου (περι ομοιοθεσίας πρόκειται)) (απλά δεν τα πάω καλά με την αντιστροφή

)

Η ισότητα $MA=M{A}'\Rightarrow \angle MA{A}'=\angle M{A}'A=\theta \Rightarrow$ $\angle AKC=\angle {A}'{K}'{C}'\overset{KA=KC=R,{K}'{A}'={K}'{C}'={R}'}{\mathop{\Rightarrow }}\,$
$\vartriangle AKC\tilde{\ }\vartriangle {A}'{K}'{C}'\Rightarrow KC\parallel {K}'{A}'\wedge KA\parallel {K}'{C}':\left( 1 \right)$
, όπου C,{C}'

τα σημεία τομής της A{A}'

με τους κύκλους $\left( K \right),\left( {{K}'} \right)$ αντίστοιχα
Ομοίως αντίστοιχα προκύπτει ότι $KB\parallel {K}'{D}'\,\,\wedge \,\,KD\parallel {K}'{B}':\left( 2 \right)$
Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ προκύπτει η ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων $\vartriangle KAB\tilde{\ }\vartriangle {K}'{C}'{D}'$ και $\vartriangle KDC\tilde{\ }\vartriangle {K}'{B}'{A}'$ από όπου προκύπτουν οι παραλληλίες $AB\parallel {C}'{D}'$ και $CD\parallel {A}'{B}'$ με D,{D}'

τα σημεία τομής της B{B}'

με τους κύκλους $\left( K \right),\left( {{K}'} \right)$ αντίστοιχα.
Έτσι από την ομοκυκλικότητα $\left( A,B,D,C \right)$ (στον κύκλο $\left( K \right)$ ) θα είναι

αντιπαράλληλη της $CD\overset{CD\parallel {A}'{B}'}{\mathop{\Rightarrow }}\,AB$ αντιπαράλληλη της

οπότε τα σημεία A,B,{A}',{B}'

είναι ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί ..

ορθογώνιοι κύκλοι 1

ορθογώνιοι κύκλοι 1

Re: ορθογώνιοι κύκλοι 1

Re: ορθογώνιοι κύκλοι 1

Μέλη σε σύνδεση