sin(a+b)+cosa+cosb>1+sina +sinb

#1

Αν οι γωνίες a, b, a+b

είναι οξείες να αποδειχτεί ότι

sin(a+b)+cosa+cosb>1+sina +sinb

#2

rek2 έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 14, 2022 8:02 pm
Αν οι γωνίες είναι οξείες να αποδειχτεί ότι

.
Έχουμε a+b<90

Κρατάμε το

σταθερό και ορίζουμε

$f(x)= \sin(x+b)+\cos x+\cos b-1- \sin x -\sin b$ . Είναι τότε

$f'(x) = \cos (x+b) -\sin x -\cos x$ . Όμως το συνημίτονο είναι φθίνουσα συνάρτηση στο πρώτο τεταρτημόριο, οπότε $\cos (x+b) \le \cos x$ . Άρα στο εν λόγω τεταρτημόριο είναι f'(x) < 0

και η

είναι γνήσια φθίνουσα. (Το τελευταίο αποδεικύεται απλά και χωρίς παραγώγους αλλά το αφήνω).

Αφού a<90 -b

θα ισχύει

ή αλλιώς

$\sin(a+b)+\cos a+\cos b-1- \sin a -\sin b > \sin(90-b+b)+\cos (90-b) +\cos b-1- \sin (90-b) -\sin b =$

$= 1 + \sin b +\cos b -1-\cos b -\sin b =0$ . Δηλαδή το αποδεικτέο.

sin(a+b)+cosa+cosb>1+sina +sinb

sin(a+b)+cosa+cosb>1+sina +sinb

Re: sin(a+b)+cosa+cosb>1+sina +sinb

Μέλη σε σύνδεση