Δίχως βλάβη της γενικότητας

Ο Έχων Απορίες · #1

Καλησπέρα σας. Έχοντας ξεκινήσει δειλά-δειλά να ασχολούμαι με διαγωνιστικά μαθηματικά, έχω εκτεθεί στην έννοια της μη βλάβης της γενικότητας. Αν έχω καταλάβει καλά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για συμμετρικές σχέσεις, λόγου χάρη αν θέλει κανείς να αποδείξει ότι $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ μπορεί να ισχυριστεί δίχως βλάβη της γενικότητες ότι $a\geq b\geq c$ .

Στην σχέση όμως $a+b+c+d\geq 2\sqrt{ab+bc+cd+da}$ δεν θα μπορούσε να υποτεθεί δίχως βλάβη της γενικότητας $a\geq b\geq c\geq d$ αν καταλαβαίνω καλά. Ποια απλοποίηση θα μπορούσαμε να κάνουμε σε αυτή τη περίπτωση;

Henri van Aubel · #2

Ο Έχων Απορίες έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 02, 2023 4:04 pm
Καλησπέρα σας. Έχοντας ξεκινήσει δειλά-δειλά να ασχολούμαι με διαγωνιστικά μαθηματικά, έχω εκτεθεί στην έννοια της μη βλάβης της γενικότητας. Αν έχω καταλάβει καλά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για συμμετρικές σχέσεις, λόγου χάρη αν θέλει κανείς να αποδείξει ότι $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ μπορεί να ισχυριστεί δίχως βλάβη της γενικότητες ότι $a\geq b\geq c$ .

Στην σχέση όμως $a+b+c+d\geq 2\sqrt{ab+bc+cd+da}$ δεν θα μπορούσε να υποτεθεί δίχως βλάβη της γενικότητας $a\geq b\geq c\geq d$ αν καταλαβαίνω καλά. Ποια απλοποίηση θα μπορούσαμε να κάνουμε σε αυτή τη περίπτωση;

Καλησπέρα φίλε!

Για τη σχέση που λες ,φαντάζομαι θέλεις a,b,c,d> 0

και γράφεται $a+b+c+d\geq 2\sqrt{a\left ( b+d \right )+c\left ( b+d \right )}=2\sqrt{\left ( a+c \right )\left ( b+d \right )}$

Θέσε a+c=x,b+d=y

και γίνεται $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ που είναι πασίγνωστη από την ανισότητα αριθμητικού- γεωμετρικού μέσου για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x,y.

Δίχως βλάβη της γενικότητας

Δίχως βλάβη της γενικότητας

Re: Δίχως βλάβη της γενικότητας

Μέλη σε σύνδεση