Συστήματα με ειδικό τρόπο λύσης

#1

Να λυθούν τα συστήματα

$1.\,\,x+y=a,\,y+z=b,\,z+x=c$

$2.\,\,xy=a,\,yz=b,\,zx=c$

mick7 · #2

Για το μεν πρώτο σχηματίζουμε το άθροισμα $\displastyle x+y+z$ και για το δεύτερο το γινόμενο $\displastyle xyz$

#3

rek2 έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 26, 2020 8:27 pm
Να λυθούν τα συστήματα

$1.\,\,x+y=a,\,y+z=b,\,z+x=c$

$2.\,\,xy=a,\,yz=b,\,zx=c$

Με πρόσθεση κατά μέλη: $\displaystyle x + y + z = \frac{{a + b + c}}{2}.$ Στη συνέχεια αφαιρώντας από αυτήν τις εξισώσεις του

συστήματος προκύπτουν: $\boxed{x = \frac{{a + c - b}}{2},y = \frac{{a + b - c}}{2},z = \frac{{b + c - a}}{2}}$

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη: $\displaystyle {(xyz)^2} = abc$

$\displaystyle \bullet$ Αν abc<0,

το σύστημα είναι αδύνατο.

$\displaystyle \bullet$ Αν abc=0,

τότε το σύστημα λύνεται κατά περίπτωση (δεν έχει πάντα λύση).

$\displaystyle \bullet$ Αν abc>0,

τότε $\displaystyle xyz = \pm \sqrt {abc}$ και διαιρώντας με καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος βρίσκουμε τους x, y, z.

#4

Καλημέρα σε όλους. Γράφω κάπως πιο αναλυτικά τις δυνατές περιπτώσεις στο 2ο σύστημα. Στο πρώτο έδωσε απάντηση ο Γιώργος παραπάνω. Να σημειώσω απλώς ότι έχει πάντα λύση στο R^3

, η οποία απεικονίζεται στο τρισδιάστατο γράφημα που επισυνάπτω.
Περισσότερα και καλύτερα σχήματα, ίσως, θα έχει να προσθέσει ο Κώστας Δόρτσιος.

1. $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x + y = a\;\;\;\left( 1 \right)\\ x + z = b\;\;\;\,\left( 2 \right)\\ z + y = c\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \end{array} \right.$

Προσθέτω (1), (2) και (3)

$\displaystyle x + y + z = \frac{{a + b + c}}{2}\;\;\;\left( 4 \right)$

(4) – (1) $\displaystyle z = \frac{{b + c - a}}{2}$ , (4) – (2) $\displaystyle y = \frac{{a + c - b}}{2}$ , (4) – (3) $\displaystyle x = \frac{{a + b - c}}{2}$

2. Λύνουμε το σύστημα για x, y, z

πραγματικούς αριθμούς.

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {\mkern 1mu} xy = a\;\;\left( 1 \right)\\ yz = b\;\;\left( 2 \right)\\ {\mkern 1mu} zx = c\;\;\left( 3 \right) \end{array} \right.\;\;\;\;\mathop \Rightarrow \limits^ \times \;\;\;{\left( {xyz} \right)^2} = abc$ .

Aν abc<0

δηλαδή αν ένας ή τρεις από τους αριθμούς a, b, c

είναι αρνητικοί και οι άλλοι θετικοί, τότε το σύστημα είναι αδύνατο.

Αν a>0, b>0, c>0

τότε $\displaystyle xyz = \sqrt {abc} \;\;\;\left( 4 \right)$ .

Τότε, διαδοχικά:

Από (4) : (1) έχουμε $\displaystyle z = \frac{{\sqrt {abc} }}{a} = \frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {{a^2}} }} = \sqrt {\frac{{bc}}{a}}$

Από (4) : (2) έχουμε $\displaystyle x = \sqrt {\frac{{ac}}{b}}$ και από (4) : (3) έχουμε $\displaystyle y = \sqrt {\frac{{ab}}{c}}$

Αν a>0, b<0, c<0

τότε

άρα

, οπότε $\displaystyle xyz = - \sqrt {abc} \;\;\;\;\left( 5 \right)$

Από (5) : (1) έχουμε $\displaystyle z = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{a} = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{{\sqrt {{a^2}} }} = - \sqrt {\frac{{bc}}{a}}$ ,
από (5) : (2) $\displaystyle x = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{b} = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{{ - \sqrt {{b^2}} }} = \sqrt {\frac{{ac}}{b}}$ και από (5) : (3) $\displaystyle y = \sqrt {\frac{{ab}}{c}}$ .

Ομοίως, αν a<0, b>0, c<0

τότε

άρα

, οπότε επίσης είναι $\displaystyle xyz = - \sqrt {abc} \;\;\;\;\left( 5 \right)$

Τότε (5) : (1) έχουμε $\displaystyle z = \sqrt {\frac{{bc}}{a}}$ , από (5) : (2) $\displaystyle x = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{b} = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = - \sqrt {\frac{{ac}}{b}}$

και από (5) : (3) $\displaystyle y = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{c} = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{{ - \sqrt {{c^2}} }} = \sqrt {\frac{{ab}}{c}}$ .

Τέλος, αν αν a<0, b<0, c>0

, τότε $\displaystyle z = \sqrt {\frac{{bc}}{a}}$ , $\displaystyle x = \sqrt {\frac{{ac}}{b}}$ και $\displaystyle y = - \sqrt {\frac{{ab}}{c}}$ .

Αν $a=0, bc \ne 0$ αδύνατο. Πράγματι $\displaystyle a = 0 \Rightarrow xy = 0 \Rightarrow \left( {x = 0\;\; \vee \;\;y = 0} \right) \Rightarrow \left( {b = 0\;\; \vee \;c = 0} \right)$ .

Ομοίως αδύνατο είναι αν $b=0, ac \ne 0$ ή $c=0, ab \ne 0$ .

Αν $a=b=0, c \ne 0$ τότε y=0

και $\displaystyle x \in {R^*},\;\;z = \frac{c}{x}$ .

Αν $a=c=0, b \ne 0$ τότε x=0

και $\displaystyle y \in {R^*},\;\;z = \frac{b}{y}$ .

Αν $b=c=0, a \ne 0$ τότε z=0

και $\displaystyle x \in {R^*},\;\;z = \frac{a}{x}$ .

Αν a=b=c=0

, τότε $x=y=0, z \in R$ ή $x=z=0, y \in R$ ή $y=z=0, x \in R$ .

Ουφ.

#5

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 07, 2020 10:50 am
Καλημέρα σε όλους. Γράφω κάπως πιο αναλυτικά τις δυνατές περιπτώσεις στο 2ο σύστημα. Στο πρώτο έδωσε απάντηση ο Γιώργος παραπάνω. Να σημειώσω απλώς ότι έχει πάντα λύση στο , η οποία απεικονίζεται στο τρισδιάστατο γράφημα που επισυνάπτω.

Ουφ.

Γιώργο, να είσαι καλά Φίλε!

Αφήνεις, αυτό που πρέπει, στις γενιές που ακολουθούν!!

Συστήματα με ειδικό τρόπο λύσης

Συστήματα με ειδικό τρόπο λύσης

Re: Συστήματα με ειδικό τρόπο λύσης

Re: Συστήματα με ειδικό τρόπο λύσης

Re: Συστήματα με ειδικό τρόπο λύσης

Re: Συστήματα με ειδικό τρόπο λύσης

Μέλη σε σύνδεση