2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5286
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Αγαπητοί φίλοι, ας συγκεντρώσουμε εδώ τις λύσεις, τις παρατηρήσεις και τυχόν διορθώσεις στις ασκήσεις που αναρτήθηκαν στην Τράπεζα Θεμάτων της Β΄Λυκείου
Κατόπιν θα συγκεντρωθούν και θα σελιδοποιηθούν ώστε να αναρτηθούν με την ευθύνη των επιμελητών του .
Ας φροντίσουμε να είναι πλήρως διατυπωμένες οι απαντήσεις μας, για να διευκολυνθούν οι συντάκτες των δελτίων.
Η πρόσκληση απευθύνεται σε κάθε μέλος και φίλο του που θα ήθελε να συμμετέχει.
Σ' αυτήν τη συζήτηση θα ασχοληθούμε με το
2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
edit 9-11-2014: Πρόσθεσα το σύνδεσμο των θεμάτων.
Κατόπιν θα συγκεντρωθούν και θα σελιδοποιηθούν ώστε να αναρτηθούν με την ευθύνη των επιμελητών του .
Ας φροντίσουμε να είναι πλήρως διατυπωμένες οι απαντήσεις μας, για να διευκολυνθούν οι συντάκτες των δελτίων.
Η πρόσκληση απευθύνεται σε κάθε μέλος και φίλο του που θα ήθελε να συμμετέχει.
Σ' αυτήν τη συζήτηση θα ασχοληθούμε με το
2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
edit 9-11-2014: Πρόσθεσα το σύνδεσμο των θεμάτων.
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17741
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_17741.docx
- (22.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 829 φορές
Κωνσταντίνος Γεωργίου
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17736
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_17736.docx
- (36.71 KiB) Μεταφορτώθηκε 513 φορές
Κωνσταντίνος Γεωργίου
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17732
Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση f: ℝ→ℝ, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από τα σημεία Α(2, 3) και Β(4, 5) .
α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f. (Μονάδες 13)
β) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο -2, να δείξετε ότι f(0)>0. (Μονάδες 12)
ΛΥΣΗ
α) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(2,3) και Β(4,5), ισχύουν f(2) = 3 και f(4) = 5.
Αν η συνάρτηση f ήταν γνησίως φθίνουσα, εφόσον 2 < 4, θα είχαμε f(2) > f(4) ή 3 > 5, πράγμα το οποίο είναι άτοπο.
Με δεδομένο ότι η f είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως αύξουσα.
β) Αφού η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο -2, είναι f(-2) = 0.
Είναι -2 < 0 και f γνησίως αύξουσα. Άρα f(-2) < f(0), δηλαδή f(0) > 0.
Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση f: ℝ→ℝ, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από τα σημεία Α(2, 3) και Β(4, 5) .
α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f. (Μονάδες 13)
β) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο -2, να δείξετε ότι f(0)>0. (Μονάδες 12)
ΛΥΣΗ
α) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(2,3) και Β(4,5), ισχύουν f(2) = 3 και f(4) = 5.
Αν η συνάρτηση f ήταν γνησίως φθίνουσα, εφόσον 2 < 4, θα είχαμε f(2) > f(4) ή 3 > 5, πράγμα το οποίο είναι άτοπο.
Με δεδομένο ότι η f είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως αύξουσα.
β) Αφού η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο -2, είναι f(-2) = 0.
Είναι -2 < 0 και f γνησίως αύξουσα. Άρα f(-2) < f(0), δηλαδή f(0) > 0.
Θοδωρής Καραμεσάλης
-
- Δημοσιεύσεις: 296
- Εγγραφή: Τρί Ιούλ 15, 2014 11:37 pm
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_16957
Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 27 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη.
α) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13)
β) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες 12)
ΛΥΣΗ
Έστω η ηλικία του Μάρκου και η ηλικία του Βασίλη. Από τα δεδομένα, προκύπτει ότι:
(1) και (2).
α) Υποθέτουμε ότι οι είναι θετικοί ρητοί αριθμοί.
Από τα παραπάνω, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την ηλικία του καθενός, διότι η (1) αποτελεί μία γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, ενώ η (2) δεν αποτελεί ικανό δεσμό σε συνδιασμό με την (1). Για παράδειγμα, θα μπορούσε ή όπως και άλλοι συνδιασμοί.
β) Τώρα, ξέρουμε ότι και (3) (καθώς ). Άρα
.
Για , από την (1) έχουμε:
Δηλαδή, ο Μάρκος είναι ετών και ο Βασίλης Τα αποτελέσματα αυτά, επαληθεύουν όλα τα δεδομένα.
Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 27 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη.
α) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13)
β) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες 12)
ΛΥΣΗ
Έστω η ηλικία του Μάρκου και η ηλικία του Βασίλη. Από τα δεδομένα, προκύπτει ότι:
(1) και (2).
α) Υποθέτουμε ότι οι είναι θετικοί ρητοί αριθμοί.
Από τα παραπάνω, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την ηλικία του καθενός, διότι η (1) αποτελεί μία γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, ενώ η (2) δεν αποτελεί ικανό δεσμό σε συνδιασμό με την (1). Για παράδειγμα, θα μπορούσε ή όπως και άλλοι συνδιασμοί.
β) Τώρα, ξέρουμε ότι και (3) (καθώς ). Άρα
.
Για , από την (1) έχουμε:
Δηλαδή, ο Μάρκος είναι ετών και ο Βασίλης Τα αποτελέσματα αυτά, επαληθεύουν όλα τα δεδομένα.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13354
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_16950
α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με
συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.
(Μονάδες )
β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις του συστήματος που ορίσατε στο
α) ερώτημα και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο.
(Μονάδες )
Λύση
α)
Αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με και την προσθέσουμε στη δεύτερη, θα προκύψει η ισότητα . Άρα το σύστημα είναι πράγματι αδύνατο.
β) Οι εξισώσεις του συστήματος γράφονται αντίστοιχα . Οι ευθείες που ορίζουν οι εξισώσεις του συστήματος είναι λοιπόν παράλληλες , άρα το σύστημα είναι αδύνατο.
α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με
συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.
(Μονάδες )
β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις του συστήματος που ορίσατε στο
α) ερώτημα και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο.
(Μονάδες )
Λύση
α)
Αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με και την προσθέσουμε στη δεύτερη, θα προκύψει η ισότητα . Άρα το σύστημα είναι πράγματι αδύνατο.
β) Οι εξισώσεις του συστήματος γράφονται αντίστοιχα . Οι ευθείες που ορίζουν οι εξισώσεις του συστήματος είναι λοιπόν παράλληλες , άρα το σύστημα είναι αδύνατο.
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_16950.docx
- (142.89 KiB) Μεταφορτώθηκε 251 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Δευ Νοέμ 10, 2014 3:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_16960
Η εξίσωση η οποία παριστάνει μια ευθεία είναι της μορφής : , η οποία αν λυθεί ως προς y μας γίνει , όπου λ ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας αυτής και , επίσης λ=εφω, όπου ω είναι η γωνία κλίσης της ευθείας με τον άξονα x'x.
Παρατηρώ ότι :
Το σημείο τομής θα έχει συντεταγμένες (3, -1).
Η εξίσωση η οποία παριστάνει μια ευθεία είναι της μορφής : , η οποία αν λυθεί ως προς y μας γίνει , όπου λ ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας αυτής και , επίσης λ=εφω, όπου ω είναι η γωνία κλίσης της ευθείας με τον άξονα x'x.
Παρατηρώ ότι :
- Η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες στα σημεία, Α(0,2) και Β(2,0), λαμβάνοντας την εξίσωση :
- για το σημείο Α(0,2) :
- για το σημείο Β(2,0) :
- Η ευθεία (η) τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Γ(4,0) και έχει κλίση .
- Γνωρίζουμε όμως ότι κλίση ευθείας και έτσι .
Επομένως η εξίσωση της ευθείας (η) γίνεται : και επειδή το σημείο Γ(4,0) ανήκει στην ευθεία αυτή τότε :
- Γνωρίζουμε όμως ότι κλίση ευθείας και έτσι .
Το σημείο τομής θα έχει συντεταγμένες (3, -1).
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13354
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_16962
Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία
και .
α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της αιτιολογώντας την απάντησή σας.
(Μονάδες )
β) Να λύσετε την ανίσωση . (Μονάδες )
Λύση
α) . Είναι λοιπόν και . Επειδή όμως η είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα.
β)
Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία
και .
α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της αιτιολογώντας την απάντησή σας.
(Μονάδες )
β) Να λύσετε την ανίσωση . (Μονάδες )
Λύση
α) . Είναι λοιπόν και . Επειδή όμως η είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα.
β)
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_16962.docx
- (103.74 KiB) Μεταφορτώθηκε 257 φορές
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13354
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_16965
Δίνεται η συνάρτηση ,
α) Να αποδείξετε ότι η γράφεται στη μορφή. (Μονάδες )
β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση ,
μετατοπίζοντας κατάλληλα την . (Μονάδες )
Λύση.
α)
β) Η γραφική παράσταση της με τη μορφή είναι μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης κατά μονάδες προς τα δεξιά και ταυτόχρονα κατακόρυφη μετατόπιση κατά μονάδα προς τα πάνω. Όλα αυτά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
Δίνεται η συνάρτηση ,
α) Να αποδείξετε ότι η γράφεται στη μορφή. (Μονάδες )
β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση ,
μετατοπίζοντας κατάλληλα την . (Μονάδες )
Λύση.
α)
β) Η γραφική παράσταση της με τη μορφή είναι μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης κατά μονάδες προς τα δεξιά και ταυτόχρονα κατακόρυφη μετατόπιση κατά μονάδα προς τα πάνω. Όλα αυτά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_16965.docx
- (187.61 KiB) Μεταφορτώθηκε 255 φορές
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13354
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_16968
α) Είναι η τιμή λύση της εξίσωσης ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες )
β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
με την ευθεία . (Μονάδες )
Λύση.
α) .
Άρα η τιμή είναι λύση της εξίσωσης
β) Αναζητούμε τις λύσεις της εξίσωσης .
α) Είναι η τιμή λύση της εξίσωσης ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες )
β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
με την ευθεία . (Μονάδες )
Λύση.
α) .
Άρα η τιμή είναι λύση της εξίσωσης
β) Αναζητούμε τις λύσεις της εξίσωσης .
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_16968.docx
- (103.59 KiB) Μεταφορτώθηκε 254 φορές
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13354
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17647
Δίνεται το σύστημα:
με παραμέτρους .
α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (2, -3). (Μονάδες )
β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο. (Μονάδες )
Ίσως να είναι καλή για εμπέδωση της θεωρίας μέσα στην τάξη, αλλά δεν νομίζω ότι ταιριάζει για εξετάσεις, μία άσκηση που έχει άπειρες σωστές απαντήσεις.
Δίνεται το σύστημα:
με παραμέτρους .
α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (2, -3). (Μονάδες )
β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο. (Μονάδες )
Ίσως να είναι καλή για εμπέδωση της θεωρίας μέσα στην τάξη, αλλά δεν νομίζω ότι ταιριάζει για εξετάσεις, μία άσκηση που έχει άπειρες σωστές απαντήσεις.
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1761
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17650
Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος , πλάτος , περίμετρο ίση με
και με την ακόλουθη ιδιότητα:
Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά και μειώσουμε το πλάτος του κατά , θα
προκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού.
α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.
(Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων του ορθογωνίου. (Μονάδες 15)
Λύση
α) Το δοσμένο ορθογώνιο έχει εμβαδόν και περίμετρο .
Αν γίνουν οι αλλαγές στις διαστάσεις του , το εμβαδόν του θα γίνει και θα είναι ίσο με το αρχικό . Επομένως έχουμε το σύστημα :
β) Είναι :
Επομένως οι διαστάσεις του είναι
Σχόλιο : Επειδή , παραδοσιακά , λέμε μήκος τη μεγαλύτερη πλευρά και επειδή εδώ προκύπτει
ότι το μήκος είναι μικρότερο από το πλάτος , ας μην παρασυρθούν οι μαθητές από τις λέξεις .
Η λύση είναι σωστή . Ελπίζω το ΙΕΠ να διορθώσει την εκφώνηση .
Εdit 14_11_14 : Προστέθηκε το σχόλιο ( Ευχαριστώ τον Γ. Ρίζο )
Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος , πλάτος , περίμετρο ίση με
και με την ακόλουθη ιδιότητα:
Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά και μειώσουμε το πλάτος του κατά , θα
προκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού.
α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.
(Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων του ορθογωνίου. (Μονάδες 15)
Λύση
α) Το δοσμένο ορθογώνιο έχει εμβαδόν και περίμετρο .
Αν γίνουν οι αλλαγές στις διαστάσεις του , το εμβαδόν του θα γίνει και θα είναι ίσο με το αρχικό . Επομένως έχουμε το σύστημα :
β) Είναι :
Επομένως οι διαστάσεις του είναι
Σχόλιο : Επειδή , παραδοσιακά , λέμε μήκος τη μεγαλύτερη πλευρά και επειδή εδώ προκύπτει
ότι το μήκος είναι μικρότερο από το πλάτος , ας μην παρασυρθούν οι μαθητές από τις λέξεις .
Η λύση είναι σωστή . Ελπίζω το ΙΕΠ να διορθώσει την εκφώνηση .
Εdit 14_11_14 : Προστέθηκε το σχόλιο ( Ευχαριστώ τον Γ. Ρίζο )
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Παρ Νοέμ 14, 2014 8:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Kαλαθάκης Γιώργης
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17734
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_17734.docx
- (31.51 KiB) Μεταφορτώθηκε 356 φορές
Κωνσταντίνος Γεωργίου
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ 17652
Δίνεται γωνία που ικανοποιεί τη σχέση:
α) Να αποδείξετε ότι είτε είτε . (Μονάδες 13)
β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας . (Μονάδες 12)
ΛΥΣΗ
Α) Είναι
ή
Β) Αν ή , .
Γενικά ,
(Δη λαδή τα ακέραια πολλαπλάσια του )
Αν , .
Γενικά ,
( Το σύνολο των δυνατών τιμών της γωνίας θα μπορούσε να εκφραστεί γενικά από την σχέση , . )
ΕΓΙΝΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΥΣΤΕΡΑ ΑΠΟ Π.Μ. ΤΟΥ ΠΙΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΙΚΟΥ dimkat
Δίνεται γωνία που ικανοποιεί τη σχέση:
α) Να αποδείξετε ότι είτε είτε . (Μονάδες 13)
β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας . (Μονάδες 12)
ΛΥΣΗ
Α) Είναι
ή
Β) Αν ή , .
Γενικά ,
(Δη λαδή τα ακέραια πολλαπλάσια του )
Αν , .
Γενικά ,
( Το σύνολο των δυνατών τιμών της γωνίας θα μπορούσε να εκφραστεί γενικά από την σχέση , . )
ΕΓΙΝΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΥΣΤΕΡΑ ΑΠΟ Π.Μ. ΤΟΥ ΠΙΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΙΚΟΥ dimkat
- Συνημμένα
-
- 2- 17652.docx
- (41.1 KiB) Μεταφορτώθηκε 231 φορές
-
- 2- 17652.docx
- (41.1 KiB) Μεταφορτώθηκε 203 φορές
τελευταία επεξεργασία από pap65 σε Πέμ Νοέμ 13, 2014 2:06 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_18638
Δίνεται το σύστημα με παραμέτρους .
α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση το ζεύγος .
β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας.
Λύση
α) Το σύστημα έχει ορίζουσα . Για να έχει μοναδική λύση : .
Αφού το ζεύγος επαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η πρώτη ικανοποιείται) και έχουμε .
Φροντίζοντας να ισχύει η (1), επιλέγουμε π.χ. και έτσι η (2) δίνει .
β) Για να έχει άπειρες λύσεις το σύστημα πρέπει . Επιλέγουμε π.χ. και αντικαθιστούμε :
άρα προφανώς θα πρέπει . Tότε οι λύσεις είναι τα ζεύγη
που αποτελούν συντεταγμένες των σημείων της ευθείας
Δίνεται το σύστημα με παραμέτρους .
α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση το ζεύγος .
β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας.
Λύση
α) Το σύστημα έχει ορίζουσα . Για να έχει μοναδική λύση : .
Αφού το ζεύγος επαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η πρώτη ικανοποιείται) και έχουμε .
Φροντίζοντας να ισχύει η (1), επιλέγουμε π.χ. και έτσι η (2) δίνει .
β) Για να έχει άπειρες λύσεις το σύστημα πρέπει . Επιλέγουμε π.χ. και αντικαθιστούμε :
άρα προφανώς θα πρέπει . Tότε οι λύσεις είναι τα ζεύγη
που αποτελούν συντεταγμένες των σημείων της ευθείας
- Συνημμένα
-
- 18638.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 11699 φορές
Γιώργος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_18637
Δίνεται το σύστημα με παραμέτρους .
α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση το ζεύγος .
β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας.
Λύση
α) Το σύστημα έχει ορίζουσα . Για να έχει μοναδική λύση : .
Αφού το ζεύγος επαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η πρώτη ικανοποιείται) και έχουμε .
Φροντίζοντας να ισχύει η (1), επιλέγουμε π.χ. και έτσι η (2) δίνει .
β) Για να είναι το σύστημα αδύνατο πρέπει . Επιλέγουμε π.χ. και αντικαθιστούμε :
άρα προφανώς θα πρέπει . Eπιλέγουμε π.χ. .
Tότε το σύστημα παριστάνει τις ευθείες που είναι παράλληλες.
Δίνεται το σύστημα με παραμέτρους .
α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση το ζεύγος .
β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας.
Λύση
α) Το σύστημα έχει ορίζουσα . Για να έχει μοναδική λύση : .
Αφού το ζεύγος επαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η πρώτη ικανοποιείται) και έχουμε .
Φροντίζοντας να ισχύει η (1), επιλέγουμε π.χ. και έτσι η (2) δίνει .
β) Για να είναι το σύστημα αδύνατο πρέπει . Επιλέγουμε π.χ. και αντικαθιστούμε :
άρα προφανώς θα πρέπει . Eπιλέγουμε π.χ. .
Tότε το σύστημα παριστάνει τις ευθείες που είναι παράλληλες.
- Συνημμένα
-
- 18637.png (19.96 KiB) Προβλήθηκε 11688 φορές
Γιώργος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13354
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17651
Στο δημοτικό parking μιας επαρχιακής πόλης στις το πρωί, το σύνολο των δίκυκλων και
τετράτροχων οχημάτων που έχουν παρκάρει είναι και το πλήθος των τροχών τους
.
α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.
(Μονάδες )
β) Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των τετράτροχων οχημάτων.
(Μονάδες )
Λύση.
α) Έστω ο αριθμός των δίκυκλων και των τετράτροχων οχημάτων αντίστοιχα.
Η μία εξίσωση του συστήματος είναι
Τα δίκυκλα έχουν συνολικά τροχούς, ενώ τα τετράτροχα τροχούς. Η άλλη εξίσωση λοιπόν του συστήματος είναι ή
β)
Έχουμε λοιπόν δίκυκλα και τετράτροχα οχήματα.
Σχόλιο: Αν έβλεπα αυτή την άσκηση χωρίς να ξέρω σε ποια τάξη απευθύνεται, θα έλεγα ότι είναι της Γ' Γυμνασίου.
Στο δημοτικό parking μιας επαρχιακής πόλης στις το πρωί, το σύνολο των δίκυκλων και
τετράτροχων οχημάτων που έχουν παρκάρει είναι και το πλήθος των τροχών τους
.
α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.
(Μονάδες )
β) Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των τετράτροχων οχημάτων.
(Μονάδες )
Λύση.
α) Έστω ο αριθμός των δίκυκλων και των τετράτροχων οχημάτων αντίστοιχα.
Η μία εξίσωση του συστήματος είναι
Τα δίκυκλα έχουν συνολικά τροχούς, ενώ τα τετράτροχα τροχούς. Η άλλη εξίσωση λοιπόν του συστήματος είναι ή
β)
Έχουμε λοιπόν δίκυκλα και τετράτροχα οχήματα.
Σχόλιο: Αν έβλεπα αυτή την άσκηση χωρίς να ξέρω σε ποια τάξη απευθύνεται, θα έλεγα ότι είναι της Γ' Γυμνασίου.
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_17651.docx
- (109.85 KiB) Μεταφορτώθηκε 253 φορές
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_18634
Δίνεται η συνάρτηση
α) Να δείξετε ότι γράφεται στη μορφή:
β) Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης . Στο ίδιο σύστημα αξόνων,
να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της , και να εξηγήσετε πως αυτή προκύπτει μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της .
Λύση
α) Έχουμε :
β) Η γραφική παράσταση της (κόκκινη) θα προκύψει από τη γραφική παράσταση της (μπλε) με δύο
μετατοπίσεις : μία οριζόντια προς τα δεξιά κατά μονάδες και μία κατακόρυφη προς τα πάνω κατά μία μονάδα.
Δίνεται η συνάρτηση
α) Να δείξετε ότι γράφεται στη μορφή:
β) Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης . Στο ίδιο σύστημα αξόνων,
να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της , και να εξηγήσετε πως αυτή προκύπτει μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της .
Λύση
α) Έχουμε :
β) Η γραφική παράσταση της (κόκκινη) θα προκύψει από τη γραφική παράσταση της (μπλε) με δύο
μετατοπίσεις : μία οριζόντια προς τα δεξιά κατά μονάδες και μία κατακόρυφη προς τα πάνω κατά μία μονάδα.
- Συνημμένα
-
- 18634.png (37.44 KiB) Προβλήθηκε 11578 φορές
Γιώργος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17741
α) Να αποδείξετε ότι :
β) Να λυθεί η εξίσωση :
Λύση
α) .
β) Από το πρώτο ερώτημα για η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την
(δεκτές)
α) Να αποδείξετε ότι :
β) Να λυθεί η εξίσωση :
Λύση
α) .
β) Από το πρώτο ερώτημα για η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την
(δεκτές)
Γιώργος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17739
Έστω γωνία για την οποία ισχύουν : και .
α) Να αποδείξετε ότι
β) Να βρείτε τη γωνία
Λύση
α) Έχουμε
β) Είναι και άρα
Έστω γωνία για την οποία ισχύουν : και .
α) Να αποδείξετε ότι
β) Να βρείτε τη γωνία
Λύση
α) Έχουμε
β) Είναι και άρα
Γιώργος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες