A' ΔΕΣΜΗ 2000

parmenides51 · #1

1. α) Αν $\displaystyle{z_1 = \rho_1 (\sigma \upsilon\nu \theta_1 + i \eta \mu \theta_1)}$ και $\displaystyle{ z_2 = \rho_2(\sigma \upsilon\nu \theta_2 + i \eta \mu \theta_2)}$ είναι η τριγωνομετρική μορφή των μιγαδικών αριθμών $\displaystyle{z_1}$ και $\displaystyle{z_2}$
τότε να αποδείξετε ότι $\displaystyle{z_1 z_2 = \rho_1\rho_2 (\sigma \upsilon\nu( \theta_1+ \theta_2) + i \eta \mu (\theta_1+ \theta_2)}$
β) ΄Εστω $\displaystyle{\Omega =\left\{ 1,2,...,10 \right\}}$ είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα.
Αν $\displaystyle{\lambda \in \Omega }$ , θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ , με $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}} x^3 -2x^2+3x+\lambda ^2\,\,, x \in \mathbb{R} }$ .
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα $\displaystyle{X,Y}$ όπου :
$\displaystyle{X=\{}$ Η μέγιστη τιμή της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{[0,5]}$ , είναι μεγαλύτερη ή ίση του $\displaystyle{\frac{68}{3} \left\}}$ .
$\displaystyle{Y=\{}$ Η ελάχιστη τιμή της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{[0,5]}$ , είναι μικρότερη ή ίση του $\displaystyle{4 \}}$ .
Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων $\displaystyle{X,Y, X\cap Y}$ και $\displaystyle{X\cup Y}$

2. α) ΄Εστω ότι $\displaystyle{A,B}$ είναι $\displaystyle{ \nu \, x \, \nu}$ πίνακες, με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{4A^2-B^2=\mathbb{I}}$ και $\displaystyle{AB=BA}$ ,
όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ είναι ο $\displaystyle{ \nu \, x \, \nu}$ μοναδιαίος πίνακας.
i) Να αποδείξετε ότι οι πίνακες $\displaystyle{2A+B}$ και $\displaystyle{2A-B}$ είναι αντιστρέψιμοι.
ii) ΄Εστω $\displaystyle{X,Y}$ είναι νxν πίνακες τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{2AX+BY=2A+\mathbb{I}}$ και $\displaystyle{BX+2AY=B}$ .
1. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{X=2A+\mathbb{I}}$ και $\displaystyle{Y=-B}$ .
2. Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίνακα $\displaystyle{Y^2+2X}$ είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
β) Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου $\displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi ,5 \eta \mu \phi)}$ με $\displaystyle{\phi \in [0,2\pi)}$ .
i) 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης στο σημείο $\displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi ,5 \eta \mu \phi)}$ με $\displaystyle{\phi \in [0,2\pi)}$ .
ii) ΄Εστω $\displaystyle{E(\phi)}$ με $\displaystyle{\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$ είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο $\displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi , 5\eta \mu \phi)}$
με τους άξονες $\displaystyle{x'x}$ και $\displaystyle{y'y}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{E(\phi) \ge 20}$ .

3. α) Έστω $\displaystyle{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ συνάρτηση συνεχής στο $\displaystyle{\mathbb{R} }$ .
Έστω $\displaystyle{I : \mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ η συνάρτηση με $\displaystyle{I(x)=\int_{0}^{1}\left[\left( f\left( t \right) \right)^2- 2xt^2f(t) +x^2t^4 \right] dt}$ , για $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$ .
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{I}$ παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο $\displaystyle{x_o=5\int_{0}^{1}t^2f(t) dt}$
β) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f : (1, +\infty) \to \mathbb{R} }$ , με $\displaystyle{f(x) = 2000 +\left| \ln (x-1)\right |}$ .
Έστω $\displaystyle{c}$ πραγματικός μεγαλύτερος του $\displaystyle{2000}$ .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{y=c}$ και η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, τα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ .
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ , στα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ , είναι κάθετες μεταξύ τους.

4. Έστω $\displaystyle{f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ , είναι συναρτήσεις συνεχείς στο $\displaystyle{\mathbb{R} }$ τέτοιες, ώστε να ισχύει $\displaystyle{f(x)-g(x)=x-4}$ για $\displaystyle{x \in\mathbb{R} }$ .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{y=3x-7}$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ , καθώς $\displaystyle{x\to +\infty}$ .
α) Να βρείτε τα όρια :
i) $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{g(x)}{x}}$ και
ii) $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{g(x) + 3x +\eta \mu 2 x}{x f(x) - 3x^2 +1}}$
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{y=2x-3}$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{g}$ , καθώς $\displaystyle{x\to +\infty}$ .

edit
διόρθωση αρίθμησης θεμάτων

orestisgotsis · #2

ΠΕΡΙΤΤΑ

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:

3. α) Έστω $\displaystyle{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ συνάρτηση συνεχής στο $\displaystyle{\mathbb{R} }$ .
Έστω $\displaystyle{I : \mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ η συνάρτηση με $\displaystyle{I(x)=\int_{0}^{1}\left[\left( f\left( t \right) \right)^2- 2xt^2f(t) +x^2t^4 \right] dt}$ , για $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$ .
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{I}$ παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο $\displaystyle{x_o=5\int_{0}^{1}t^2f(t) dt}$
β) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f : (1, +\infty) \to \mathbb{R} }$ , με $\displaystyle{f(x) = 2000 +\left| \ln (x-1)\right |}$ .
Έστω $\displaystyle{c}$ πραγματικός μεγαλύτερος του $\displaystyle{2000}$ .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{y=c}$ και η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, τα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ .
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ , στα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ , είναι κάθετες μεταξύ τους.

α)Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned} I(x)=\int_{0}^{1}\left[f^2(t)-2x\,t^2\,f(t)+x^2\,t^4\right\,dt&=\int_{0}^{1}t^4\,dt\,x^2-2\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\,x+\int_{0}^{1}f^2(t)\,dt\\&=\left[\frac{t^5}{5}\right]_{0}^{1}\,x^2-2\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\,x+\int_{0}^{1}f^2(t)\,dt\\&=\frac{x^2}{5}-2\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\,x+\int_{0}^{1}f^2(t)\,dt\\&=\frac{1}{5}\left[x^2-2x\left(5\,\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\right)+5\int_{0}^{1}f^2(t)\,dt\right]\\&=\frac{1}{5}\left[\left(x-5\,\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\right)^2+5\int_{0}^{1}f^2(t)\,dt-25\left[\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\right]^2\right]\\&\geq 5\int_{0}^{1}f^2(t)\,dt-25\left[\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\right]^2\\&=I\left(5\,\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\right)\end{aligned}}$

β)Η $\displaystyle{f}$ γράφεται ως

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} 2000-\ln \left(x-1\right)\,\,,x\in\left(1,2\right)\\ 2000+\ln \left(x-1\right)\,\,,x\in\left[2,+\infty\right) \end{cases}}$

Για $\displaystyle{x\in\left(1,2\right)}$ είναι,

$\displaystyle{f(x)=c\Leftrightarrow \ln \left(x-1\right)=2000-c<0\Leftrightarrow x=1+e^{2000-c}}$

Για $\displaystyle{x\geq 2}$ είναι $\displaystyle{f(x)=c\Leftrightarrow x=1+e^{c-2000}}$

Ας είναι $\displaystyle{A\left(1+e^{2000-c},c\right)\,\,,B\left(1+e^{c-2000},c\right)}$

$\displaystyle{f^\prime(x)=\begin{cases} -\frac{1}{x-1}\,\,,x\in\left(1,2\right)\\ \frac{1}{x-1}\,\,,x\in\left(2,+\infty\right) \end{cases}}$

$\displaystyle{x_{A}=2\Leftrightarrow e^{2000-c}=1\Leftrightarrow 2000-c=0\Leftrightarrow c=2000}$ , άτοπο

$\displaystyle{x_{B}=2\Leftrightarrow e^{c-2000}=1\Leftrightarrow c-2000=0\Leftrightarrow c=2000}$ , άτοπο.

Οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στα σημεία της $\displaystyle{A\,\,,B}$ έχουν συντελεστές διεύθυνσης

$\displaystyle{\lambda_1=f^\prime(x_{A})}\,\, \kappa \alpha \iota\,\,,\lambda_{2}=f^\prime(x_{B})}$ αντίστοιχα.

Είναι,

$\displaystyle{\lambda_{1}\cdot \lambda_{2}=-\frac{1}{e^{2000-c}}\cdot \frac{1}{e^{c-2000}}=-\frac{1}{e^{2000-c+c-2000}}=-1}$

απ' όπου έχουμε το ζητούμενο.

Την αφήνω και λόγω κόπου και λόγω διαφορετικής αντιμετώπισης του α)

gavrilos · #4

parmenides51 έγραψε:4. Έστω $\displaystyle{f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ , είναι συναρτήσεις συνεχείς στο $\displaystyle{\mathbb{R} }$ τέτοιες, ώστε να ισχύει $\displaystyle{f(x)-g(x)=x-4}$ για $\displaystyle{x \in\mathbb{R} }$ .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{y=3x-7}$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ , καθώς $\displaystyle{x\to +\infty}$ .
α) Να βρείτε τα όρια :
i) $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{g(x)}{x}}$ και
ii) $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{g(x) + 3x +\eta \mu 2 x}{x f(x) - 3x^2 +1}}$
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{y=2x-3}$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{g}$ , καθώς $\displaystyle{x\to +\infty}$ .

α)i.Ξέρουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}=3}$ και ότι $\displaystyle{g(x)=f(x)-x+4}$ .

Άρα ψάχνουμε το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)-x+4}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}+\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{4}{x}-1=3-1=2}$ .

ii.Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με το $\displaystyle{x}$ .

Το όριο είναι τώρα το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\frac{g(x)}{x}+3+\frac{sin2x}{x}}{f(x)-3x+\frac{1}{x}}=\frac{2+3+0}{-7+0}=-\frac{5}{7}}$ .

β)Ξέρουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{g(x)}{x}=2}$ .

Συνεπώς πρέπει ν.δ.ο. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}[g(x)-2x]=-3}$ ή ισοδύναμα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-x+4-2x]=-3}$

Αφού $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-3x]=-7}$ το όριό μας είναι ίσο με $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-3x+4]=-7+4=-3}$ .

Συνεπώς,αφού $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{g(x)}{x}=2}$ και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}[g(x)-2x]=-3}$ η ευθεία $\displaystyle{2x-3}$ είναι ασύμπτωτη της $\displaystyle{g(x)}$ στο $\displaystyle{x\rightarrow +\infty}$ .

hlkampel · #5

parmenides51 έγραψε:2. α) ΄Εστω ότι $\displaystyle{A,B}$ είναι $\displaystyle{ \nu \, x \, \nu}$ πίνακες, με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{4A^2-B^2=\mathbb{I}}$ και $\displaystyle{AB=BA}$ ,
όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ είναι ο $\displaystyle{ \nu \, x \, \nu}$ μοναδιαίος πίνακας.
i) Να αποδείξετε ότι οι πίνακες $\displaystyle{2A+B}$ και $\displaystyle{2A-B}$ είναι αντιστρέψιμοι.
ii) ΄Εστω $\displaystyle{X,Y}$ είναι νxν πίνακες τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{2AX+BY=2A+\mathbb{I}}$ και $\displaystyle{BX+2AY=B}$ .
1. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{X=2A+\mathbb{I}}$ και $\displaystyle{Y=-B}$ .
2. Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίνακα $\displaystyle{Y^2+2X}$ είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
β) Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου $\displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi ,5 \eta \mu \phi)}$ με $\displaystyle{\phi \in [0,2\pi)}$ .
i) 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης στο σημείο $\displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi ,5 \eta \mu \phi)}$ με $\displaystyle{\phi \in [0,2\pi)}$ .
ii) ΄Εστω $\displaystyle{E(\phi)}$ με $\displaystyle{\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$ είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο $\displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi , 5\eta \mu \phi)}$
με τους άξονες $\displaystyle{x'x}$ και $\displaystyle{y'y}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{E(\phi) \ge 20}$ .

α) i) $4{A^2} - {B^2} = I \Leftrightarrow \left( {2A + B} \right)\left( {2A - B} \right) = I$ αφού ισχύει AB = BA

.

Από την παραπάνω σχέση συμπεραίνουμε ότι οι πίνακες 2A + I

και

είναι αντιστρέψιμοι με:

${\left( {2A + B} \right)^{ - 1}} = 2A - B$ και ${\left( {2A - B} \right)^{ - 1}} = 2A + B$

ii. 1. $\left\{ \begin{array}{l} 2AX + BY = 2A + I\;\left( 1 \right)\\ BX + 2AY = B\quad \quad \left( 2 \right) \end{array} \right.$

Από $\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \left( {2A + B} \right)X + \left( {2A + B} \right)Y = \left( {2A + B} \right) + I\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot \left( {2A - B} \right)}$

$X + Y = 2A - B + I \Leftrightarrow Y = 2A - B + I - X\;\left( 3 \right)$

$\left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} 2AX + B + 2AB - {B^2} - BX = 2A + I \Leftrightarrow$

$\left( {2A - B} \right)X = 2A - 2AB + {B^2} - B + I \Leftrightarrow$

$\left( {2A - B} \right)X = 2A\left( {I - B} \right) - B\left( {I - B} \right) + I \Leftrightarrow$

$\left( {2A - B} \right)X = \left( {2A - B} \right)\left( {I - B} \right) + I\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot \left( {2A + B} \right)}$

$X = I - B + 2A + B \Leftrightarrow X = 2A + I\;\left( 4 \right)$

$\left( 3 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right)} Y = I + 2A - B - 2A - I \Leftrightarrow Y = - B$

2. Από το προηγούμενο ερώτημα είναι:

${Y^2} + 2X = {B^2} + 4A + 2I \Leftrightarrow {Y^2} + 2X = {B^2} + 4{A^2} + 4A + I + I - 4{A^2} \Leftrightarrow$

${Y^2} + 2X = {\left( {2A + I} \right)^2} + I - \left( {4{A^2} - {B^2}} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\upsilon \pi \dot o\vartheta \varepsilon \sigma \eta } {Y^2} + 2X = {\left( {2A + I} \right)^2} + I - I \Leftrightarrow$

${Y^2} + 2X = {\left( {2A + I} \right)^2} \Rightarrow \left| {{Y^2} + 2X} \right| = {\left| {\left( {2A + I} \right)} \right|^2} \Rightarrow \left| {{Y^2} + 2X} \right| \ge 0$

β) i. Αν $\displaystyle x = 4\sigma \upsilon \nu \varphi \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{x}{4}$ και $\displaystyle y = 5\eta \mu \varphi \Leftrightarrow \eta \mu \varphi = \frac{y}{5}$

$\displaystyle\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi + \eta {\mu ^2}\varphi = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$

Άρα τα σημεία $M\left( {4\sigma \upsilon \nu \varphi ,5\eta \mu \varphi } \right)$ ανήκουν στην έλλειψη με $\alpha = 5,\beta = 4$ και εστίες τα σημεία $E\left( {0,3} \right),E'\left( {0, - 3} \right)$ για κάθε $\varphi \in \left[ {0,2\pi } \right)$

2. i. Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο

έχει εξίσωση:

$\displaystyle\frac{{x{x_M}}}{{16}} + \frac{{y{y_M}}}{{25}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{4x\sigma \upsilon \nu \varphi }}{{16}} + \frac{{5y\eta \mu \varphi }}{{25}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{x\sigma \upsilon \nu \varphi }}{4} + \frac{{y\eta \mu \varphi }}{5} = 1$ με $\varphi \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$

Με y = 0

βρίσκουμε ότι τέμνει τον x'x

στο $\displaystyle A\left( {\frac{4}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }},0} \right)$

Με x = 0

βρίσκουμε ότι τέμνει τον y'y

στο $\displaystyle B\left( {0,\frac{5}{{\eta \mu \varphi }}} \right)$

Είναι $\displaystyle\frac{4}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} > 0$ και $\displaystyle\frac{5}{{\eta \mu \varphi }} > 0$ αφού $\varphi \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$

$\displaystyle\left( {OAB} \right) = \frac{1}{2}OA \cdot OB \Rightarrow \left( {OAB} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} \cdot \frac{5}{{\eta \mu \varphi }} \Rightarrow \left( {OAB} \right) = \frac{{20}}{{\eta \mu 2\varphi }}\tau .\mu .$

$\displaystyle 0 < \varphi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 < 2\varphi < \pi \Rightarrow 0 < \eta \mu 2\varphi \le 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\eta \mu 2\varphi }} \ge 1 \Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{{20}}{{\eta \mu 2\varphi }} \ge 20 \Leftrightarrow \left( {OAB} \right) \ge 20$ με το “ίσον” να ισχύει όταν $\displaystyle\varphi = \frac{\pi }{4}$

#6

2. α) ΄Εστω ότι $\displaystyle{A,B}$ είναι $\displaystyle{ \nu \, x \, \nu}$ πίνακες, με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{4A^2-B^2=\mathbb{I}}$ και $\displaystyle{AB=BA}$ ,
όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ είναι ο $\displaystyle{ \nu \, x \, \nu}$ μοναδιαίος πίνακας.
i) Να αποδείξετε ότι οι πίνακες $\displaystyle{2A+B}$ και $\displaystyle{2A-B}$ είναι αντιστρέψιμοι.
ii) ΄Εστω $\displaystyle{X,Y}$ είναι νxν πίνακες τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{2AX+BY=2A+\mathbb{I}}$ και $\displaystyle{BX+2AY=B}$ .
1. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{X=2A+\mathbb{I}}$ και $\displaystyle{Y=-B}$ .
2. Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίνακα $\displaystyle{Y^2+2X}$ είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
β) Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου $\displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi ,5 \eta \mu \phi)}$ με $\displaystyle{\phi \in [0,2\pi)}$ .
i) 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης στο σημείο $\displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi ,5 \eta \mu \phi)}$ με $\displaystyle{\phi \in [0,2\pi)}$ .
ii) ΄Εστω $\displaystyle{E(\phi)}$ με $\displaystyle{\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$ είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο $\displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi , 5\eta \mu \phi)}$
με τους άξονες $\displaystyle{x'x}$ και $\displaystyle{y'y}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{E(\phi) \ge 20}$ .

α)
i) $\displaystyle{\,\,\,(2A + B)(2A - B) = 4{A^2} - 2AB + 2BA - {B^2} = 4{A^2} - {B^2} = I\,\,\,\,\,\,}$ , αφού $\displaystyle{\,\,\,AB = BA\,\,\,\,}$ .
1. Είναι :
$\displaystyle{\left. \begin{array}{l} 2AX + BY = 2A + {\rm I} \\ BX + 2AY = B \\ \end{array} \right\}\begin{array}{*{20}{c}} {\,\,\,\,\,(1)} \\ {\,\,\,\,(2)} \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\left. \begin{array}{l} (1) + (2) \Rightarrow (2{\rm A} + {\rm B}){\rm X} + (2{\rm A} + {\rm B})\Upsilon = 2{\rm A} + {\rm B} + {\rm I} \\ (1) - (2) \Rightarrow (2{\rm A} - {\rm B}){\rm X} + ({\rm B} - 2{\rm A})\Upsilon = 2{\rm A} - {\rm B} + {\rm I} \\ \end{array} \right\}\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {(3)} \\ {(4)} \\ \end{array}}$
Πολλαπλασιάζοντας τις $\displaystyle{\,\,\,\,(3)\,,\,\,(4)\,\,}$ από αριστερά με $\displaystyle{\,\,\,2{\rm A} - {\rm B}\,\,,\,\,2{\rm A} + {\rm B}\,\,\,}$ , αντίστοιχα , παίρνουμε τις :
$\displaystyle{\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} {\rm X} + \Upsilon = (2{\rm A} - {\rm B})(2{\rm A} + {\rm B} + {\rm I}) = {\rm I} + 2{\rm A} - {\rm B} \\ {\rm X} - \Upsilon = ({\rm B} + 2{\rm A})(2{\rm A} - {\rm B} + {\rm I}) = \,{\rm I} + {\rm B} + 2{\rm A} \\ \end{array} \right\}\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {(5)} \\ {(6)} \\ \end{array} \\ \\ (5) + (6) \Rightarrow {\rm X} = 2{\rm A} + {\rm I} \\ (5) - (6) \Rightarrow \Upsilon = - \,\,{\rm B} \\ \end{array}}$
2.
$\displaystyle{\begin{array}{l} {\Upsilon ^2} + 2{\rm X} = {{\rm B}^2} + 4{\rm A} + 2{\rm I} = 4{{\rm A}^2} - {\rm I} + 4{\rm A} + 2{\rm I} = 4{{\rm A}^2} + 4{\rm A} + {\rm I} = {(2{\rm A} + {\rm I})^2} \\ Αρα \det ({\Upsilon ^2} + 2{\rm X}) = \det ({(2{\rm A} + {\rm I})^2}) = {(\det (2{\rm A} + {\rm I}))^2} \ge 0 \\ \end{array}}$

A' ΔΕΣΜΗ 2000

A' ΔΕΣΜΗ 2000

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000

Μέλη σε σύνδεση