Ανίσωση

#1

Αν $\displaystyle x > 0$ , να λυθεί η ανίσωση :
$\displaystyle x\left( {8\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right) \le 11\sqrt {1 + x} - 16\sqrt {1 - x}$

Εισαγωγικές πανεπιστημίου Μόσχας

#2

Γιώργη, καλησπέρα.

Θα χαρώ να δω κάτι πιο ευφυές και κομψό γιατί αυτό που αναρτώ μού φαίνεται άχαρο.

Για να ορίζεται η ανίσωση πρέπει $\displaystyle 0 < x \le 1$

Για αυτά τα

έχουμε

$\displaystyle x\left( {8\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right) \le 11\sqrt {1 + x} - 16\sqrt {1 - x} \Leftrightarrow 8\left( {x + 2} \right)\sqrt {1 - x} \le \left( {11 - x} \right)\sqrt {1 + x}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {64{x^2} + 256x + 256} \right)\left( {1 - x} \right) \le \left( {121 - 22x + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow 65{x^3} + 171{x^2} + 99x - 135 \ge 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {5x - 3} \right)\left( {13{x^2} + 42x + 45} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {\frac{3}{5},\;1} \right]$

edit: Ομολογώ:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Σταμ. Γλάρος · #3

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 06, 2020 7:20 pm
Αν $\displaystyle x > 0$ , να λυθεί η ανίσωση :
$\displaystyle x\left( {8\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right) \le 11\sqrt {1 + x} - 16\sqrt {1 - x}$

Εισαγωγικές πανεπιστημίου Μόσχας

Καλησπέρα. Εύχομαι σε όλους καλή ακαδημαϊκή-σχολική χρονιά!
Μια προσπάθεια ...
Κατ΄αρχάς έχουμε $0<x\leq 1$ . Η ανίσωση ισοδυνάμως παίρνει την μορφή:
$x\left ( 8\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} +1\right )\leq 11-16\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$ .
Θέτοντας όπου $\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} = t$ με $0<t\leq 1$ , έχουμε :
$\dfrac{1-t^2}{1+t^2}(8t+1) \leq 11-16t$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $4t^3-6t^2+12t-5 \leq0$ .
Σύμφωνα με το Θεώρημα ρητών ριζών (εκτός ύλης πια...) ρίζα της παραπάνω είναι το $\dfrac{1}{2}$ .
Παραγοντοποιώντας με Horner έχουμε ισοδυνάμως την ανίσωση: $\left ( t-\dfrac{1}{2} \right )(4t^2-4t+10)\leq 0\Leftrightarrow 0<t\leq \frac{1}{2}.$
Αντικαθιστώντας έχουμε : $\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\leq \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x\geq \dfrac{3}{5}$ .
Άρα λύσεις της ανίσωσης : $x\in \left [\dfrac{3}{5} ,1 \right )$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Ανίσωση

Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση