ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1980 - 30%

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

ΖΗΤΗΜΑ 1ο
α) Να εξετάσετε το είδος των ριζών της εξίσωσης $ax^{2}+\beta x+\gamma =0$ (1)
όπου $a,\beta ,\gamma$ πραγματικοί αριθμοί και $a\neq0$ .
β) Αν η εξίσωση $\varphi (x)\equiv x^{2}+a x+\beta=0$ (2)
έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, να δείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και για τις ρίζες της εξίσωσης
$\lambda \left ( 2x+a \right )+\varphi (x)=0$ (3)
για κάθε πραγματικό αριθμό $\lambda.$

ΖΗΤΗΜΑ 2ο
α) Να δώσετε τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου.
β) Αν οι αριθμοί $a,\beta ,\gamma ,\delta$ κατά τη δοθείσα σειρά είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου,
να δείξετε ότι : $\left ( \beta -\gamma \right )^{2}+\left ( \gamma -a \right )^{2}+\left ( \delta -\beta \right )^{2}=\left ( a-\delta \right )^{2}$

ΖΗΤΗΜΑ 3ο
Ισόπλευρο τρίγωνο $AB\Gamma$ πλευράς $\lambda$ , στρέφεται περί άξονα χψ που περνά από την κορυφή

και είναι παράλληλος προς την πλευρά $B\Gamma$ . Να βρείτε το εμβαδόν

της επιφανείας και τον όγκο του στερεού που παράγεται.

User#0000 · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 25, 2021 5:25 pm
ΖΗΤΗΜΑ 1ο
β) Αν η εξίσωση $\varphi (x)\equiv x^{2}+a x+\beta=0$ (2)
έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, να δείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και για τις ρίζες της εξίσωσης
$\lambda \left ( 2x+a \right )+\varphi (x)=0$ (3)
για κάθε πραγματικό αριθμό $\lambda.$

Επειδή η εξίσωση (2)

έχει δύο άνισες ρίζες, τότε πρέπει η διακρίνουσα να είναι θετική.

Οπότε ισχύει ότι:

a^2-4b>0

.

Η εξίσωση (3)

γράφεται:

$\lambda (2x+a)+\varphi (x)=0\Leftrightarrow$
$2\lambda x+a\lambda +x^2+ax+b=0\Leftrightarrow$
$x^2+(2\lambda +a)x+a\lambda +b=0$

Η διακρίνουσα της μετασχηματισμένης εξίσωσης (3)

ισούται με:
$(2\lambda +a)^2-4(a\lambda +b)$
$=4\lambda ^2+4a\lambda +a^2-4a\lambda -4b$
$=4\lambda ^2+a^2-4b>0$ , προφανώς το άθροισμα ενός μη αρνητικού ( $\lambda ^2$ ) με έναν αυστηρά θετικό (

) αριθμό το αποτέλεσμα που θα προκύψει θα είναι αυστηρά θετικό, το οποίο, όμως μας εξασφαλίζει ότι η εξίσωση (3)

θα έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες μιας και έχει θετική διακρίνουσα.

Tolaso J Kos · #3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 25, 2021 5:25 pm

ΖΗΤΗΜΑ 2ο
β) Αν οι αριθμοί $a,\beta ,\gamma ,\delta$ κατά τη δοθείσα σειρά είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου,
να δείξετε ότι : $\left ( \beta -\gamma \right )^{2}+\left ( \gamma -a \right )^{2}+\left ( \delta -\beta \right )^{2}=\left ( a-\delta \right )^{2}$

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \left ( \beta -\gamma \right )^2+\left ( \gamma -\alpha \right )^2+\left ( \delta -\beta \right )^2 &= \beta^2 -2\beta \gamma + \gamma^2 + \gamma^2 - 2 \gamma \alpha + \alpha^2 + \delta^2 - 2\delta \beta + \beta^2 \\ &= \alpha \gamma - 2\beta \gamma + \gamma^2 +\gamma^2 - 2\gamma \alpha + \alpha^2 + \delta^2 - 2 \delta \beta+ \alpha \gamma \\ &= -2\beta \gamma + 2 \delta \beta + \alpha^2+ \delta^2 - 2\delta \beta \\ &= \alpha^2 -2 \beta\gamma + \delta^2 \\ &= \alpha^2 - 2\alpha \delta + \delta^2 \\ &= \left ( \alpha - \delta \right )^2 \end{aligned}}$

Tolaso J Kos · #4

Ας δούμε μία άλλη ταυτότητα. Αν $\alpha, \beta, \gamma , \delta$ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε ισχύει ότι

$\displaystyle{\left ( \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 \right ) \left ( \beta^2 + \gamma^2 +\delta^2 \right ) = \left ( \alpha \beta +\beta \gamma + \gamma \delta \right )^2}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Tα δύο πρώτα θέματα αντιμετωπίστηκαν, θέλω κάποιος να ασχοληθεί και με το τρίτο. Πρόκειται για ένα κλασσικό θέμα Στερεομετρίας...

Christos.N · #6

Τηλέμαχε καλημέρα και καλό Πάσχα!

Να δουλέψουμε σε αυτό το σχήμα

: Στιγμιότυπο από 2021-04-26 11-37-18.png (10.58 KiB) Προβλήθηκε 1185 φορές

Θα αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα υπολογίζοντας τον όγκο του κυλίνδρου που παράγεται και αφαιρώντας δύο φορές τον όγκο του κώνου.

Για τον όγκο του κυλίνδρου: $V_{cy}=\pi \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \lambda \right)^2 \lambda=\frac{3}{4}\pi\lambda^3$

Για τον όγκο του κώνου: $V_{co}=\frac{1}{3}\pi\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \lambda \right)^2\frac{\lambda}{2}=\frac{1}{8}\pi\lambda^3$

Για τον ζητούμενο όγκο: $V=V_{cy}-2V_{co}=\frac{1}{2}\pi\lambda^3$

#7

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 25, 2021 5:25 pm

ΖΗΤΗΜΑ 3ο
Ισόπλευρο τρίγωνο $AB\Gamma$ πλευράς $\lambda$ , στρέφεται περί άξονα χψ που περνά από την κορυφή και είναι παράλληλος προς την πλευρά $B\Gamma$ . Να βρείτε το εμβαδόν της επιφανείας και τον όγκο του στερεού που παράγεται.

Καλημέρα σε όλους!

Για τον όγκο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το θεώρημα του Πάππου:

Ο όγκος του στερεού που παράγεται κατά την περιστροφή τριγώνου περί άξονα που διέρχεται από μία κορυφή

του και δεν τέμνει το τρίγωνο, ισούται με το γινόμενο του εμβαδού του τριγώνου επί το μήκος του κύκλου που

διαγράφεται κατά την περιστροφή του βαρύκεντρου του τριγώνου.

: Οικ.1980.png (18.04 KiB) Προβλήθηκε 1173 φορές

$\displaystyle V = \left( {\frac{{{\lambda ^2}\sqrt 3 }}{4}} \right)\left( {2\pi \frac{{\lambda \sqrt 3 }}{3}} \right) = \frac{{\pi {\lambda ^3}}}{2}$

Για το εμβαδόν, όπως το γράφει ο Χρήστος παρακάτω.

Christos.N · #8

Το εμβαδόν της επιφάνειας δεν το είχα αντιληφθεί.

Πρόκειται για το εμβαδόν της επιφάνειας του κυλίνδρου (που έχει ορθογώνιο ανάπτυγμα) $E_1=2\pi\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda^2=\sqrt{3}\pi\lambda^2$

συν το διπλάσιο εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κώνου $E_2=\frac{1}{2}\left(2\pi \frac{\sqrt{3}}{2}\lambda\right)\lambda=\frac{\sqrt{3}}{2}\pi\lambda^2$

άρα η ζητούμενη επιφάνεια : $E=E_1+2E_2=2\sqrt{3}\pi\lambda^2$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #9

Nα ευχαριστήσω τους Χρήστο και Γιώργο για τις λύσεις τους.
Ο Γιώργος βρήκε τον όγκο με το 2ο Θεώρημα του Πάππου, η απόδειξη του οποίου στη γενική μορφή απαιτεί Λογισμό.
Ωστόσο και τα δύο θεωρήματα του Πάππου υπάρχουν τυπωμένα - σε προσαρμοσμένη εκδοχή - στο τρέχον σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας Β΄ Λυκείου στη σελίδα 174.
Αν κάποιος θέλει να δει μια απόδειξη της προσαρμοσμένης εκδοχής του 2ου θεωρήματος, μπορεί να τη βρει στο παλιό σχολικό βιβλίο του Χρήστου Παπανικολάου ''ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ'' στις σελίδες 374,375.

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1980 - 30%

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1980 - 30%

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1980 - 30%

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1980 - 30%

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1980 - 30%

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1980 - 30%

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1980 - 30%

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1980 - 30%

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1980 - 30%

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1980 - 30%

Μέλη σε σύνδεση