ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1979 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Πάνω σε επίπεδο $\displaystyle{(\pi)}$ ορίζονται δυο ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon_1)}$ και $\displaystyle{(\varepsilon_2)}$ και εκτός του $\displaystyle{(\pi)}$ δυο σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ . Από το σημείο τομής $\displaystyle{O}$ της $\displaystyle{AB}$ και του επιπέδου $\displaystyle{(\pi)}$ , φέρνουμε τυχαία ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ αντίστοιχα τις $\displaystyle{(\varepsilon_1)}$ και $\displaystyle{(\varepsilon_2)}$ στα σημεία $\displaystyle{\Gamma}$ και $\displaystyle{\Delta}$ . Έστω $\displaystyle{M}$ η τομή των $\displaystyle{A\Gamma }$ και $\displaystyle{B\Delta}$ , $\displaystyle{N}$ η τομή των $\displaystyle{A\Delta }$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ . Ζητούνται :
α) Να βρεθούν οι γεωμετρικοί τόποι των σημείων $\displaystyle{M }$ και $\displaystyle{N}$ όταν η $\displaystyle{(\varepsilon)}$ περιστρέφεται στο επίπεδο $\displaystyle{(\pi)}$ γύρω από το $\displaystyle{O}$
β) Να δειχθεί οτι η $\displaystyle{MN}$ ορίζει πάνω στην $\displaystyle{AB}$ σταθερό σημείο.

2. Δίνονται δυο κύκλοι $\displaystyle{(K,R)}$ και $\displaystyle{(\Lambda,r)}$ και φέρνουμε δυο τυχαίες εξωτερικές εφαπτόμενες τους $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ τεμνόμενες κάθετα στο $\displaystyle{E}$ , δηλαδή $\displaystyle{\widehat{BE\Gamma}=90^o}$ . Από τα $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{\Lambda}$ φέρνουμε δυο ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon_1)}$ και $\displaystyle{(\varepsilon_2) }$ παράλληλες αντίστοιχα προς τις $\displaystyle{AE}$ και $\displaystyle{E\Gamma}$ .
Να δειχτεί οτι:
α) η διχοτόμος της ορθής γωνίας των εφαπτομένων και η διχοτόμος της ορθής γωνίας των $\displaystyle{(\varepsilon_1)}$ και $\displaystyle{(\varepsilon_2)}$ , έχουν μεταξύ τους σταθερή απόσταση ανεξάρτητη από την θέση των εφαπτομένων
β) η διχοτόμος των εφαπτομένων εφάπτεται σταθερού κύκλου

3. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{M}$ επιπέδου $\displaystyle{(\pi)}$ , των οποίων οι αποστάσεις $\displaystyle{MA}$ και $\displaystyle{MB }$ από δυο δοθέντα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ έχουν λόγο ίσον προς $\displaystyle{\frac{\mu}{\nu}\ne 1}$ . Έστω $\displaystyle{\mu>\nu}$ .

4. Να βρεθεί η επιφάνεια $\displaystyle{E}$ σφαίρας O εγγεγραμμένης σε κανονικό τετράεδρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta }$ ακμής $\displaystyle{\alpha=4 }$ εκατοστά.

#2

parmenides51 έγραψε: 3. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{M}$ επιπέδου $\displaystyle{(\pi)}$ , των οποίων οι αποστάσεις $\displaystyle{MA}$ και $\displaystyle{MB }$ από δυο δοθέντα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ έχουν λόγο ίσον προς $\displaystyle{\frac{\mu}{\nu}\ne 1}$ . Έστω $\displaystyle{\mu>\nu}$ .

: Ναυτικών Δοκίμων 1979.png (11.35 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

Ανάλυση: Έστω

ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου. Φέρνω τις διχοτόμους της εσωτερικής και εξωτερικής γωνίας $\displaystyle{\widehat {\rm M}}$ που τέμνουν την

στα σημεία $\displaystyle{\Delta ,{\rm E}}$ αντίστοιχα. Από τα θεωρήματα διχοτόμων έχουμε:
$\displaystyle{\frac{{\Delta {\rm A}}}{{\Delta {\rm B}}} = \frac{{{\rm E}{\rm A}}}{{{\rm E}{\rm B}}} = \frac{{{\rm M}{\rm A}}}{{{\rm M}{\rm B}}} = \frac{\mu }{\nu }}$ .

Άρα τα σημεία $\displaystyle{\Delta ,{\rm E}}$ χωρίζουν εσωτερικά και εξωτερικά την

σε λόγο $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu }}$ και είναι μοναδικά. Επομένως το τμήμα $\displaystyle{\Delta {\rm E}}$ είναι σταθερό και φαίνεται από το σημείο

υπό γωνία ορθή. Οπότε το

ανήκει σε κύκλο με διάμετρο τη $\displaystyle{\Delta {\rm E}}$ .

Κατασκευή: Θεωρούμε τα σταθερά σημεία A, B

και διαιρούμε το

εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu }}$ . Έτσι προσδιορίζουμε τα σημεία $\displaystyle{\Delta ,{\rm E}}$ . Στη συνέχεια γράφουμε κύκλο με διάμετρο τη $\displaystyle{\Delta {\rm E}}$ .

Αντίστροφο: Έστω

ένα σημείο του κύκλου με διάμετρο τη $\displaystyle{\Delta {\rm E}}$ . Θα δείξω ότι $\displaystyle{\frac{{{\rm N}{\rm A}}}{{{\rm N}{\rm B}}} = \frac{\mu }{\nu }}$ .

: Ναυτικών Δοκίμων 1979.2png.png (9.91 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

Φέρνω από το

ευθεία παράλληλη στη

που τέμνει τις ευθείες $\displaystyle{{\rm N}\Delta }$ και

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Τα τρίγωνα $\displaystyle{\Delta {\rm N}{\rm A},{\rm H}\Delta {\rm B}}$ καθώς επίσης και τα $\displaystyle{{\rm E}{\rm N}{\rm A},{\rm E}{\rm Z}{\rm B}}$ έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. Άρα: $\displaystyle{\frac{{{\rm N}{\rm A}}}{{{\rm B}{\rm H}}} = \frac{{\Delta {\rm A}}}{{\Delta {\rm B}}}}$ \displaystyle{\displaystyle{ = \frac{\mu }{\nu }} και

\displaystyle{\frac{{{\rm N}{\rm A}}}{{{\rm B}{\rm Z}}} = \frac{{{\rm E}{\rm A}}}{{{\rm E}{\rm B}}}}} $\displaystyle{ = \frac{\mu }{\nu }}$ . Από αυτές τις σχέσεις προκύπτει ότι BH=BZ

.
Το τρίγωνο όμως NHZ

είναι ορθογώνιο (η $\displaystyle{\Delta {\rm E}}$ είναι διάμετρος του κύκλου) και η

είναι διάμεσος. Άρα NB = BH = BZ

. Οπότε $\displaystyle{\frac{{{\rm N}{\rm A}}}{{{\rm N}{\rm B}}} = \frac{\mu }{\nu }}$ . Ώστε, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με διάμετρο το τμήμα $\displaystyle{\Delta {\rm E}}$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2013 8:47 am

4. Να βρεθεί η επιφάνεια $\displaystyle{E}$ σφαίρας O εγγεγραμμένης σε κανονικό τετράεδρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta }$ ακμής $\displaystyle{\alpha=4 }$ εκατοστά.

Για να μην ξεχνάμε ότι υπάρχει και η Στερεομετρία...

Θα χρησιμοποιηθεί ο τύπος $\displaystyle V=\frac{1}{3}Er$ , όπου

o όγκος του κανονικού τετραέδρου,

η ολική επιφάνεια του κανονικού τετραέδρου και

η ακτίνα της σφαίρας που είναι εγγεγραμμένη στο κανονικό τετράεδρο.

Ο διαβασμένος υποψήφιος του 1979 ήξερε ότι

$\displaystyle V=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$ και $E=a^{2}\sqrt{3}.$

Συνεπώς $\displaystyle \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}=\frac{1}{3}a^{2}\sqrt{3}\cdot r\Leftrightarrow r=\frac{a\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}$

H ζητούμενη επιφάνεια είναι ίση με $\displaystyle E_{1}=4\pi r^{2}=4\pi \left ( \frac{a\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} \right )^2=4\pi \frac{2a^{2}}{16\cdot 3}=\frac{\pi a^{2}}{6}$

Aν τεθέί a=4

προκύπτει ότι $\displaystyle E_{1}=\frac{\pi\cdot 4^{2}}{6}=\frac{8\pi }{3}$

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1979 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1979 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1979 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1979 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση