1. α) Διαιρούμε το ακέραιο πολυώνυμο δια του ακεραίου πολυωνύμου βαθμού , έστω το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής. Με αυτόν τον τρόπο, έχουμε την ταυτότητα όπου ή με βαθμό μικρότερου του . Να δείξετε οτι η παραπάνω διαίρεση γίνεται κατά μοναδικό τρόπο, οτι δηλαδή από κάθε ταυτότητα με ακέραια πολυώνυμα και βαθμό , εφόσον , να συνεπάγεται ότι και
β) Να δείξετε οτι αν δυο (τουλάχιστον) από τις ρίζες της εξίσωσης είναι αντίθετες, τότε ένας τουλάχιστον, είτε από τις πραγματικούς ή τις φανταστικούς συντελεστές, και μηδενίζεται κι αντίστροφα.
2. Δίνονται οι εξισώσεις με συντελεστές πραγματικούς ή μιγαδικούς μη μηδενικούς. Η (2) έχει μόνο μια θετική ρίζα την . Να δειχθεί για κάθε ρίζα της (1) , ισχύει η ανισότητα . Αν η (3) έχει δυο θετικές ρίζες και διαφορετικές μεταξύ τους, να δειχθεί οτι δεν υπάρχει ρίζα της (1) που να επαληθεύει την διπλή ανισότητα , εαν
3. Να δειχτεί οτι ο πραγματικός αριθμός δεν μπορεί να είναι ρίζα της εξίσωσης , εαν είναι ρητοί, δηλαδή από την σχέση προκύπτει αναγκαστικά .
ΕΜΠ 1951 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. MHXAN. ΜΗΧ.
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: ΕΜΠ 1951 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. MHXAN. ΜΗΧ.
Για ευκολία στο Latex θα χρησιμοποιήσω .parmenides51 έγραψε: 3. Να δειχτεί οτι ο πραγματικός αριθμός δεν μπορεί να είναι ρίζα της εξίσωσης , εαν είναι ρητοί, δηλαδή από την σχέση προκύπτει αναγκαστικά .
Πολλαπλασιάζουμε τη δοσμένη με και με και έχουμε :
και .
Αφαιρούμε τις δύο τελευταίες κατά μέλη και έχουμε :
Αν τότε θα είχαμε (άτοπο)
Αν τότε έχουμε , επομένως καταλήγουμε στο σύστημα
Πολλαπλασιάζουμε την (2) με
Aν τότε από την (1) έχουμε και από την αρχική
Aν
Aν , θα είχαμε (άτοπο)
Aν τότε από την (1) έχουμε και από την αρχική
Σημείωση : Θεώρησα δεδομένο ότι
Γιώργος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες