ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να απλοποιηθεί το κλάσμα $\displaystyle{\frac{x^2-4xy+3y^2+4x-2y-5}{x^2-2xy+y^2-x+y}=\frac{A}{B}}$

2. Να λυθεί (στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ ) η εξίσωση $\displaystyle{x^2-3x+6=3\sqrt{x^2-3x+4}}$

3. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} 2^{2x^2}-(1+i)^{8y}=240\\ 2\log x -\log y= \log 4 \end{array} \right.$

Σημειώση: Τα κόκκινα γράμματα είναι συμπλήρωση δική μου με βάση την λύση που έχω, της εποχής εκείνης.

Σ. Διονύσης · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Να λυθεί (στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ ) η εξίσωση $\displaystyle{x^2-3x+6=3\sqrt{x^2-3x+4}}$

Θέτουμε $\displaystyle{x^2-3x+4=a \in\mathbb{C}}$ και έχουμε:

$\displaystyle{a+2=2\sqrt{a}\Rightarrow (a+2)^2=9a\Leftrightarrow a^2-5a+4=0\Leftrightarrow (a-4)(a-1)=0}$ . Άρα:

$\displaystyle{\begin{aligned}a = 4 & \Leftrightarrow x^2-3x=0 \\ & \Leftrightarrow x(x-3)=0 \\ & \Leftrightarrow x=3 \wedge x=0 \end{aligned} \qquad \wedge \qquad a=1 \Leftrightarrow x^2-3x +3=0 \; \; \mu\epsilon \; \; D=-3 \\ \rightarrow x_{1,2}=\frac{3\pm i\sqrt{3}}{2}\begin{cases}x_1=\frac{3+ i\sqrt{3}}{2} \\ x_2=\frac{3 - i\sqrt{3}}{2}\end{cases}}$

Εύκολα βλέπουμε ότι οι παραπάνω αριθμοί επαληθεύουν την εξίσωση.

#3

2. Να λυθεί (στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ ) η εξίσωση $\displaystyle{x^2-3x+6=3\sqrt{x^2-3x+4}}$

Σχόλιο : Αν $\displaystyle{\,\,x \in C\,\,}$ , με τα σημερινά δεδομένα το σύμβολο της ρίζας δεν έχει νόημα

Λύση
Αφού : $\displaystyle{{x^2} - 3x + 6 = 3\sqrt {{x^2} - 3x + 4} }$ , και αφού είναι
$\displaystyle{\,{x^2} - 3x + 6 > 0\,\,}$ και $\displaystyle{\,{x^2} - 3x + 4 > 0\,}$ , η εξίσωση παίρνει την "ισοδύναμη" μορφή :
$\displaystyle{{\left( {{x^2} - 3x + 6} \right)^2} = 9({x^2} - 3x + 4)}$
Θέτω : $\displaystyle{\,\,{x^2} - 3x = t\,\,\,\,,t \in C\,\,\,}$ , οπότε ισοδύναμα :
$\displaystyle{{(t + 6)^2} = 9(t + 4) \Leftrightarrow {t^2} + 3t = 0 \Leftrightarrow t = 0\,\,\,}$ ή $\displaystyle{\,\,{\rm{ t = - 3}}\,\,\,}$ .

Για $\displaystyle{\,\,t = 0\,}$ είναι $\displaystyle{{x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\,,\,\,\,x = 3}$
Για $\displaystyle{\,\,\,t = - 3\,\,}$ είναι : $\displaystyle{{x^2} - 3x = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 3 = 0\, \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm i\sqrt 3 }}{2}}$

Tolaso J Kos · #4

exdx έγραψε:2. Να λυθεί (στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ ) η εξίσωση $\displaystyle{x^2-3x+6=3\sqrt{x^2-3x+4}}$
Σχόλιο : Αν $\displaystyle{\,\,x \in C\,\,}$ , με τα σημερινά δεδομένα το σύμβολο της ρίζας δεν έχει νόημα

Θα ήθελα να ρωτήσω το εξής, χωρίς να θέλω να παρέμβω στο θέμα, γιατί πολλές φορές το βλέπω και μπερδεύομαι....
Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{x\in \mathbb{C}}$ τότε γιατί δεν έχει νόημα η $\displaystyle{\sqrt{x}}$ όπως δεν έχει νόημα και η $\displaystyle{\left ( x^2 \right )^{\frac{5}{2}}}.$ . Δεν έχω δει ποτέ σε ξένο βιβλίο μιγαδικών , από αυτά που έχω κάνει έξω να μην το επιτρέπουν. ... Μάλιστα ορίζουν πως $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$ . Αυτό γίνεται μόνο στην Ελλάδα, όπως γίνεται και με το $\displaystyle{\sqrt[3]{x}, \, \, \, \, x\in [0, +\infty )}$ ; Παράδειγμα , έχω δει σε βιβλίο μιγαδικών (ξένης έκδοσης) να ορίζεται η παράσταση $\displaystyle{A=\frac{\sqrt{9i}+\sqrt{4i}+\sqrt{16i}}{\sqrt{25i}-\sqrt{-25i}+\sqrt{8i}}}$ ....

Φιλικά,
Τόλης

Giorgos S · #5

Tolaso J Kos έγραψε:
exdx έγραψε:2. Να λυθεί (στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ ) η εξίσωση $\displaystyle{x^2-3x+6=3\sqrt{x^2-3x+4}}$
Σχόλιο : Αν $\displaystyle{\,\,x \in C\,\,}$ , με τα σημερινά δεδομένα το σύμβολο της ρίζας δεν έχει νόημα
Θα ήθελα να ρωτήσω το εξής, χωρίς να θέλω να παρέμβω στο θέμα, γιατί πολλές φορές το βλέπω και μπερδεύομαι....
Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{x\in \mathbb{C}}$ τότε γιατί δεν έχει νόημα η $\displaystyle{\sqrt{x}}$ όπως δεν έχει νόημα και η $\displaystyle{\left ( x^2 \right )^{\frac{5}{2}}}.$ . Δεν έχω δει ποτέ σε ξένο βιβλίο μιγαδικών , από αυτά που έχω κάνει έξω να μην το επιτρέπουν. ... Μάλιστα ορίζουν πως $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$ . Αυτό γίνεται μόνο στην Ελλάδα, όπως γίνεται και με το $\displaystyle{\sqrt[3]{x}, \, \, \, \, x\in [0, +\infty )}$ ; Παράδειγμα , έχω δει σε βιβλίο μιγαδικών (ξένης έκδοσης) να ορίζεται η παράσταση $\displaystyle{A=\frac{\sqrt{9i}+\sqrt{4i}+\sqrt{16i}}{\sqrt{25i}-\sqrt{-25i}+\sqrt{8i}}}$ ....

Φιλικά,
Τόλης

Απ' όσο θυμάμαι είχε γίνει μια παρόμοια κουβέντα εδώ στο

για τη ρίζα αρνητικού αριθμού και κατά πόσο πρέπει να διδάσκεται ή οχι...

kostas136 · #6

Για το 1ο θέμα.
Εύκολα για τον παρονομαστή καταλήγει κανείς στο

$\displaystyle (x-y)(x-y-1)$

Ασχολούμαστε με τον αριθμητή.

$\displaystyle 2x^2-4xy+2y^2-x^2+4x-4+y^2-2y+1-2=2(x-y)^2-2+(y-1)^2-(x-2)^2=2(x-y-1)(x-y+1)-(x+y-3)(x-y-1)=(x-y-1)(x-3y+5)$

Τελικά το κλάσμα ισούται με:

$\displaystyle \frac{x-3y+5}{x-y}$

kostas136 · #7

Για το 3ο θέμα.

Από την δεύτερη προκύπτει $\displaystyle x^2=4y$

Τότε η πρώτη γίνεται:

$\displaystyle 2^{8y}-[(1+i)^4]^{2y}=240\Leftrightarrow 2^{8y}-2^{4y}-240=0$

Η $\displaystyle k^2-k-240=0$ έχει θετική λύση το 16, άρα $\displaystyle 2^{4y}=16\Leftrightarrow y=1\ ,\ x=2$

kostas_zervos · #8

Tolaso J Kos έγραψε:
exdx έγραψε:2. Να λυθεί (στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ ) η εξίσωση $\displaystyle{x^2-3x+6=3\sqrt{x^2-3x+4}}$
Σχόλιο : Αν $\displaystyle{\,\,x \in C\,\,}$ , με τα σημερινά δεδομένα το σύμβολο της ρίζας δεν έχει νόημα
Θα ήθελα να ρωτήσω το εξής, χωρίς να θέλω να παρέμβω στο θέμα, γιατί πολλές φορές το βλέπω και μπερδεύομαι....
Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{x\in \mathbb{C}}$ τότε γιατί δεν έχει νόημα η $\displaystyle{\sqrt{x}}$ όπως δεν έχει νόημα και η $\displaystyle{\left ( x^2 \right )^{\frac{5}{2}}}.$ . Δεν έχω δει ποτέ σε ξένο βιβλίο μιγαδικών , από αυτά που έχω κάνει έξω να μην το επιτρέπουν. ... Μάλιστα ορίζουν πως $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$ . Αυτό γίνεται μόνο στην Ελλάδα, όπως γίνεται και με το $\displaystyle{\sqrt[3]{x}, \, \, \, \, x\in [0, +\infty )}$ ; Παράδειγμα , έχω δει σε βιβλίο μιγαδικών (ξένης έκδοσης) να ορίζεται η παράσταση $\displaystyle{A=\frac{\sqrt{9i}+\sqrt{4i}+\sqrt{16i}}{\sqrt{25i}-\sqrt{-25i}+\sqrt{8i}}}$ ....

Φιλικά,
Τόλης

Κάθε μιγαδικός έχει δυο τετραγωνικές ρίζες.

π.χ. Οι τετραγωνικές ρίζες του

είναι οι $z_1=1+i\;,\;z_2=-1-i$ .

Όταν λοιπόν γράψουμε $\sqrt{2i}$ τι εννοούμε ,(ποια από τις δύο);

Στους θετικούς πραγματικούς με το σύμβολο $\sqrt{a}$ εννοούμε τον θετικό αριθμό που στο τετράγωνο δίνει το

.

Επίσης το

έχει δύο τετραγωνικές ρίζες τους $\pm i$ . Όταν δίνεται , στην ξένη βιβλιογραφία , ότι $\sqrt{-1}=i$ , εννοεί ότι i^2=-1

.

Αν κάνουμε χρήση της του συμβόλου της ρίζας μπορεί να καταλήξουμε σε λάθος συμπεράσματα:

π.χ. $1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=i\cdot i=i^2=-1$ , άρα 1=-1

!

#9

kostas_zervos έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:
exdx έγραψε:2. Να λυθεί (στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ ) η εξίσωση $\displaystyle{x^2-3x+6=3\sqrt{x^2-3x+4}}$
Σχόλιο : Αν $\displaystyle{\,\,x \in C\,\,}$ , με τα σημερινά δεδομένα το σύμβολο της ρίζας δεν έχει νόημα
Θα ήθελα να ρωτήσω το εξής, χωρίς να θέλω να παρέμβω στο θέμα, γιατί πολλές φορές το βλέπω και μπερδεύομαι....
Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{x\in \mathbb{C}}$ τότε γιατί δεν έχει νόημα η $\displaystyle{\sqrt{x}}$ όπως δεν έχει νόημα και η $\displaystyle{\left ( x^2 \right )^{\frac{5}{2}}}.$ . Δεν έχω δει ποτέ σε ξένο βιβλίο μιγαδικών , από αυτά που έχω κάνει έξω να μην το επιτρέπουν. ... Μάλιστα ορίζουν πως $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$ . Αυτό γίνεται μόνο στην Ελλάδα, όπως γίνεται και με το $\displaystyle{\sqrt[3]{x}, \, \, \, \, x\in [0, +\infty )}$ ; Παράδειγμα , έχω δει σε βιβλίο μιγαδικών (ξένης έκδοσης) να ορίζεται η παράσταση $\displaystyle{A=\frac{\sqrt{9i}+\sqrt{4i}+\sqrt{16i}}{\sqrt{25i}-\sqrt{-25i}+\sqrt{8i}}}$ ....

Φιλικά,
Τόλης
Κάθε μιγαδικός έχει δυο τετραγωνικές ρίζες.

π.χ. Οι τετραγωνικές ρίζες του είναι οι $z_1=1+i\;,\;z_2=-1-i$ .

Όταν λοιπόν γράψουμε $\sqrt{2i}$ τι εννοούμε ,(ποια από τις δύο);

Aπό ένα πολύ παλαιό βιβλίο , του Σ. Γ. ΧΑΛΑΠΑ , αντιγράφω το τι γράφει σχετικά με τις τετραγωνικές ρίζες μιγαδικών:

"Την τετραγωνικήν ρίζαν του μιγαδικού $\displaystyle{a+bi}$ , ( $\displaystyle{a,b\in R}$ ), συμβολίζομεν με $\displaystyle{\sqrt{a+bi}}$ . Συνεπώς το σύμβολον

$\displaystyle{\sqrt{a+bi}}$ είναι δισήμαντον παριστά δε δύο μιγαδικούς αριθμούς αντιθέτους.

Δημιουργείται ούτω το πρόβλημα , ποία εκ των δύο εκάστοτε πρέπει να λαμβάνομεν. Προς τούτο γίνεται η εξής σύμβασις:

Εκ των δύο τιμών της τετραγωνικής ρίζης μιγαδικού αριθμού εκλέγομεν εκείνην η οποία , εις την περίπτωσιν όπου το

πραγματικόν της μέρος είναι διάφορον του μηδενός, έχει πραγματικόν μέρος θετικόν. Εις την περίπτωσιν δε όπου το

πραγματικόν της μέρος είναι μηδέν έχει συντελεστήν του $\displaystyle{i}$ θετικόν."

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση