Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

Επιτροπή Θεμάτων 2021
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2016 9:41 am

Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Επιτροπή Θεμάτων 2021 » Τετ Ιουν 16, 2021 9:04 am

Αγαπητές/τοί φίλες/οι

Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και, αποκλειστικά, θα λυθούν τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού 2021 (των ημερησίων ΓΕΛ). Επομένως σχολιασμοί-κριτική επί της δυσκολίας κ.λ.π. των θεμάτων θα απομακρύνονται από αυτήν την συζήτηση. Αυτές μπορούν να γίνουν στο Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2021

MATHIMATIKA_ΟΡ_HM_2021_10.pdf
(256.8 KiB) Μεταφορτώθηκε 504 φορές
Τις λύσεις θα τις βρείτε πατώντας εδώ

edit: 10:35 Ανέβηκαν τα θέματα.
edit: 19:44 Ανέβηκε η 1η έκδοση των Λύσεων



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4036
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Ιουν 16, 2021 11:01 am

Προσοχή στο Δ4. Η φ δεν δίνεται παραγωγισιμη και χρειάζεται περιπτώσεις για το αν είναι παραγωγισιμη ή όχι στο x_0. :)

Αν δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_0 τότε το x_0 είναι κρίσιμο σημείο.

Αν είναι παραγωγισιμη στο x_0 τότε εύκολα προκύπτει από το θεώρημα Fermat ότι και πάλι είναι κρίσιμο σημείο!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1470
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τετ Ιουν 16, 2021 11:12 am

Ευχαριστούμε για την παρατήρηση Αλέξανδρε. Απλά σημειώνω και προσθέτω ότι μια συνάρτηση \phi που ικανοποιεί τις υποθέσεις του Δ4, είναι η

σταθερή \phi(x)=-1\,,x>0 .


Παπαπέτρος Ευάγγελος
makisele
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Τρί Μάιος 27, 2014 11:16 am

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από makisele » Τετ Ιουν 16, 2021 11:16 am

α) Σ
β) Λ
γ) Σ
δ) Σ
ε) Σ

Με εκτίμηση,
Ελευθεριάδης Σολομών


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2971
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Ιουν 16, 2021 11:29 am

Γράφημα Δ3 ;)

D3-2021.png
D3-2021.png (9.44 KiB) Προβλήθηκε 3115 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2871
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τετ Ιουν 16, 2021 11:55 am

Δ1. Θεωρούμε τη συνάρτηση a με a(x)=lnx-\frac{1}{x},\;x\in D_a=(0,+\infty).
* H a είναι συνεχής στο [1,e] ως διαφορά των συνεχών \frac{1}{x} (ρητή που δεν μηνεδίζεται ο παρονομαστής) και lnx (λογαριθμική),
* H a είναι παραγωγίσιμη στο (1,e) ως διαφορά των παραγωγίσιμων \frac{1}{x} (ρητή που δεν μηνεδίζεται ο παρονομαστής) και lnx (λογαριθμική),
* a(1)a( e )=-\left(1-\frac{1}{e} \right)<0,
οπότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ρίζα x_0 της εξίσωσης a(x)=0 στο (1,e),
άρα η εξίσωση lnx=\frac{1}{x} έχει ρίζα x_0 \in (1,e).
Επίσης a’(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}>0, δηλαδή η a είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+\infty) και κατά συνέπεια η ρίζα της εξίσωσης a(x)=0 είναι μοναδική και x_0 \in (1,e).

Δ2. Ισχύει ότι lnx_0=\frac{1}{x_0} \Leftrightarrow x_0lnx_0=1 \Leftrightarrow lnx_0^{ x_0}=1 \Leftrightarrow x_0^{ x_0}=e (1).
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο D_{f’}=(0,+\infty) ως διαφορά των παραγωγίσιμων lnx (λογαριθμική) και lnx_0(x+1)-1 (ως πολυωνυμική), με f’(x)=lnx_0-\frac{1}{x} η οποία λόγω της (1) γίνεται με f’(x)=\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x}=\frac{x-x_0}{xx_0}.
Τότε
* f’(x)=0 \Leftrightarrow x=x_0, }
* f’(x)>0 \Leftrightarrow x>x_0,
* f’(x)<0 \Leftrightarrow 0<x<x_0, }
Και δεδομένου ότι είναι συνεχής στο (0,+\infty), η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,x_0], γνησίως αύξουσα στο [x_0,+\infty) και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x=x_0 το f(x_0)=lnx_0(x_0+1)-lnx_0-1=lnx_0x_0-1=0 (λόγω της (1)).

Δ3. Αναζητούμε x \in \mathbb{R} έτσι ώστε
g(x)=h(x) \Leftrightarrow xe^{-x}=\left(\frac{x_0}{e}\right)^{x+1} \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow xe^{-x}=\frac{x_0^{x+1} }{e^{x+1}} \Leftrightarrow xe^{-x}e^{x+1}}=x_0^{x+1} \Leftrightarrow xe=x_0^{x+1} (2)
* Αν χ\leq 0 η (2) είναι αδύνατη.
* Αν χ> 0 η (2) ισοδύναμα γίνεται:
 ln(xe)=lnx_0^{x+1} \Leftrightarrow lnx+lne=(x+1)lnx_0 \Leftrightarrow
  \Leftrightarrow lnx+1=(x+1)lnx_0 \Leftrightarrow f(x)=0 \Leftrightarrow x=x_0,
αφού η f παρουσιάζει μοναδικό ολικό ελάχιστο για x=x_0 το f(x_0)=0.
Επίσης η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο D_g=\mathbb{R} ως γινόμενο των παραγωγίσιμων x (πολυωνυμική) και e^{-x} (εκθετική) με g’(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x) και g’(x_0)=e^{-x_0}(1-x_0).

Επιπλέον, η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο D_g=\mathbb{R} ως εκθετική με
h’(x)=\left(\frac{x_0}{e}\right)^{x+1} ln \frac{x_0}{e}=\left(\frac{x_0}{e}\right)^{x+1} (ln x_0-lne)= \left(\frac{x_0}{e}\right)^{x+1} (ln x_0-1) και
h’(x_0)= \left(\frac{x_0}{e}\right)^{x_0+1} (ln x_0-1) = \frac{x_0^{x_0+1} }{e^{x_0+1} } (ln x_0-1)= \frac{x_0^{x_0}x_0 }{e^{x_0}e} } (ln x_0-1),
όπου λόγω της (1) γίνεται
h’(x_0)= \frac{ex_0 }{e^{x_0}e } \left(\frac{1}{x_0}-1\right) = x_0e^{-x_0}\frac{1-x_0}{x_0}= e^{-x_0}(1-x_0)=g’(x_0).

Συνεπώς αφού g(x_0)=h(x_0), g’(x_0)=h’(x_0), οι C_g,C_h έχουν μοναδικό κοινό σημείο το (x_0,g(x_0)) στο οποίο έχουν κοινή εφαπτομένη.
Δ4. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
* Αν η συνάρτηση \varphi δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_0 είναι κρίσιμο σημείο της \varphi.
* Αν η συνάρτηση \varphi είναι παραγωγίσιμη στο x_0.
Η απόσταση των σημείων A,B είναι \sqrt{(x-x)^2+(\varphi(x)-f(x))^2}=|\varphi(x)-f(x)|=f(x)-\varphi(x).
Θεωρούμε τη συνάρτηση q με q(x)= f(x)-\varphi(x),x \in D_q=(0,+\infty), η οποία είναι παραγωγίσιμη στο x_0 με q’(x_0)= f’(x_0)-\varphi’(x_0).
Η συνάρτηση q παρουσιάζει ακρότατο στο x_0, είναι παραγωγίσιμη σε αυτό και το x_0 είναι εσωτερικό του  D_q=(0,+\infty), οπότε από το θεώρημα Fermat ισχύει q’(x_0)=0 \Leftrightarrow f’(x_0)-\varphi’(x_0)=0 \Leftrightarrow \varphi’(x_0)=0, οπότε το x_0 είναι κρίσιμο σημείο της \varphi.
8emad3.png
8emad3.png (108.41 KiB) Προβλήθηκε 2897 φορές
8ema_4b.png
8ema_4b.png (6.43 KiB) Προβλήθηκε 2897 φορές
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Τετ Ιουν 16, 2021 1:01 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2971
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Ιουν 16, 2021 12:05 pm

Ας παρατηρηθεί στο διάγραμμα του Λευτέρη (#6) ότι η κοινή εφαπτομένη 'συμβαδίζει' κάπως με την g, και είναι 'μετά' κάτω απ' αυτήν: αυτό οφείλεται σε σημείο καμπής που έχει στο x=2 (εύκολο). [ΔΕΝ υπονοώ ότι οι διαγωνιζόμενοι έπρεπε να γράψουν κάτι γι' αυτό!]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
kapapi
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Παρ Φεβ 20, 2009 10:48 am
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kapapi » Τετ Ιουν 16, 2021 12:55 pm

Στο Δ3, με δεδομένο ότι g, h ορίζονται στο R, καλό θα ήταν να αποκλείσουμε τις λύσεις στο (-\infty, 0] πριν να χρησιμοποιήσουμε το λογάριθμο.


Δεν μπορεί κάποιος να αποκτήσει γνώση αν πιστεύει ότι την έχει.
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2871
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τετ Ιουν 16, 2021 12:58 pm

kapapi έγραψε:
Τετ Ιουν 16, 2021 12:55 pm
Στο Δ3, με δεδομένο ότι g, h ορίζονται στο R, καλό θα ήταν να αποκλείσουμε τις λύσεις στο (-\infty, 0] πριν να χρησιμοποιήσουμε το λογάριθμο.
Πολύ σωστή παρατήρηση!


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
killbill
Δημοσιεύσεις: 230
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 08, 2009 1:34 pm

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από killbill » Τετ Ιουν 16, 2021 4:25 pm

Γ4. Μια διαφορετική προσέγγιση

Για \displaystyle  
0 < x \le \frac{{3\pi }}{2} 
η σχέση είναι προφανής αφού ο τύπος της συνάρτησης είναι τότε \displaystyle  
f(x) = \sigma \upsilon \nu x 
και ισχύει \displaystyle  
\sigma \upsilon \nu x \ge  - 1

Αρκεί επομένως να αποδείξουμε την σχέση μόνο για \displaystyle  
x \le 0

Για \displaystyle  
x \le 0 
η συνάρτηση είναι \displaystyle  
f(x) = \alpha x^3  - 3x^2  - x + 1
οπότε αρκεί να δείξουμε ότι \displaystyle  
\alpha x^3  - 3x^2  - x + 1 \ge  - 1 \Leftrightarrow \alpha x^3  - 3x^2  - x + 2 \ge 0

Θέτω \displaystyle  
h(x) = \alpha x^3  - 3x^2  - x + 2
Είναι \displaystyle  
h'(x) = 3\alpha x^2  - 6x^{}  - 1
με \displaystyle  
\Delta  = 12(\alpha  + 3) < 0 
άρα η \displaystyle  
h'(x) 
διατηρεί πρόσημο. Επειδή \displaystyle  
h'(0) =  - 1 
θα είναι \displaystyle  
h'(x) < 0 
άρα η συνάρτηση \displaystyle  
h(x) 
είναι γνησίως φθίνουσα
Για \displaystyle  
x \le 0 \Rightarrow h(x) \ge h(0) = 2 > 0


revan085
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Παρ Ιουν 09, 2017 11:10 pm

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από revan085 » Τετ Ιουν 16, 2021 7:36 pm

Δ4. Έστω ότι το x_{0} δεν είναι κρίσιμο σημείο της \phi .
Τότε η \phi είναι παραγωγίσιμη στο x_{0} με {\phi}' (x_{0})\neq 0.

Η απόσταση των σημείων Α , Β δίνεται από τη συνάρτηση:
d(x)=\left | f(x)-\phi(x) \right |= f(x)-\phi(x)>0\ , \forall \ x>0

To x_{0} είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος \left ( 0,+ \infty \right ) και η d παρουσιάζει ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, με:
{d}'(x_{0})={f}'(x_{0})-{\phi}'(x_{0})

Οπότε από το θεώρημα του Fermat: {f}'(x_{0})-{\phi}'(x_{0})=0\Leftrightarrow {\phi}'(x_{0})=0,
πράγμα άτοπο αφού αντίκειται στην υπόθεση ότι το x_{0} δεν είναι κρίσιμο σημείο της \phi .


Επιτροπή Θεμάτων 2021
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2016 9:41 am

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Επιτροπή Θεμάτων 2021 » Τετ Ιουν 16, 2021 7:52 pm

Αναρτούμε σήμερα, 16 Ιουνίου 2021, τη 1η έκδοση των λύσεων των θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού 2021 η οποία είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών του mathematica.gr.
Θέματα & Λύσεις Μαθηματικών προσαν. 2021 (1η έκδοση) Εικόνα


padgryp
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Τετ Δεκ 20, 2017 9:47 am

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από padgryp » Τετ Ιουν 16, 2021 11:10 pm

Γ4. Β τρόπος με μονοτονία της f, εύρεση ακρότατο (ελάχιστο) στο π το f(π)=-1 και εφαρμογή ορισμού ακροτάτου


padgryp
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Τετ Δεκ 20, 2017 9:47 am

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από padgryp » Παρ Ιουν 18, 2021 5:02 pm

(Γ4 Γ τρόπος είχα γράψει λανθασμένα μια λύση)

Γ2(i) Β τρόπος στο διάστημα [π/2,3π/2] υποσύνολο [0,3π/2] ικανοποιούνται και οι τρεις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle.
τελευταία επεξεργασία από padgryp σε Κυρ Ιουν 20, 2021 8:39 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


abgd
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2021 (Θέματα & Λύσεις)

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Παρ Ιουν 18, 2021 8:20 pm

padgryp έγραψε:
Παρ Ιουν 18, 2021 5:02 pm
Γ4 Γ τρόπος με κυρτότητα και εφαπτομένη στο σημείο (π,f(π)) τότε η Cf βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη στο σημείο αυτό με εξαίρεση το σημείο αυτό, όπου εκεί τέμνονται. Άρα
f(x)\geqf'(π)(x-π)+f(π)
f(x)\geq 0•(x-π)+(-1)
f(x)\geq -1
Δεν ισχύει αυτό αφού η συνάρτηση δεν είναι κυρτή!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Πανελλήνιες Εξετάσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης