Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Eukleidis · #1

Τα σημερινα θέματα:

http://www.minedu.gov.gr/publications/d ... n_1206.pdf

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Δείτε και εδώ

Αν μπορούν να ενωθούν τα θέματα. Ελπίζω να μην υπάρξει η ανάλογη κουβέντα για τα σωστά λάθος (ημερησίων και εσπερινών) αφού δίνουν και εδώ δικαιώματα ανάλογης κριτικής.

Ομιλώ για το Α4 (ε) στα ημερήσια και το Α4 (γ) στα εσπερινά

cristsuk · #3

Βάζω και τα θέματα σε Word

parmenides51 · #4

σ' ευχαριστούμε για όλα τα θέματα εξετάσεων που τόσο καιρό μετατρέπεις σε word

cristsuk · #5

Και τα θέματα των Εσπερινών σε Word.
(Η προσφορά γίνεται με χαρά σαν ανταπόδοση αυτών που καθημερινά παίρνουμε
από την αλληλεπίδραση με αυτόν τον ιστότοπο...)

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Και τις λύσεις μπορείτε να τις δείτε εδώ.

#7

Μάκη , να είσαι καλά για τις λύσεις που μας χάρισες !

Ελπίζω, τώρα που τελειώσαμε με τις βαθμολογήσεις, να βρούμε το χρόνο να εντοπίσουμε και άλλες λύσεις, αν και τελικά αυτές μάλλον οι μαθητές τις κάνουν. αφού το δικό μας το μυαλό πάει στα τυποποιημένα !

Καλά αποτελέσματα στα παιδιά που πήραν μέρος σε αυτές τις εξετάσεις !

Μπ.

mathxl · #8

Μπάμπη καλό απόγευμα. Δεν έχω δει τις λύσεις του Μάκη, γράφω κάτι για το Δ1, αν είναι ίδιο με την λύση του Μάκη ας διαγραφεί.
Για x = 1

έχουμε $2f\left( 1 \right) + 2{e^{f\left( 1 \right)}} = 2 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 1 - {e^{f\left( 1 \right)}}$
Από το σύνολο τιμών είναι $f\left( 1 \right) \le 0 \Leftrightarrow 1 - {e^{f\left( 1 \right)}} \le 0 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) \ge 0$ τουτέστιν $f\left( 1 \right) = 0$ .

Κάνουμε παραγοντική στο β μέλος και έχουμε
$2f(x) + \left( {x + \frac{1}{x}} \right){e^{f(x)}} = \left( {x + \frac{1}{x}} \right){e^{f(x)}} - 2 - \int_1^x {{e^{f(t)}}\left( {1 - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt + 2} \Leftrightarrow$

$f(x) = - \frac{1}{2}\int_1^x {{e^{f(t)}}\left( {1 - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt}$

δικαιολογούμε παραγωγισιμότητα μελών και "καρπαζώνουμε" τα μέλη
$f'\left( x \right) = - \frac{1}{2}{e^{f(x)}}\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) \Leftrightarrow {\left( {{e^{ - f(x)}}} \right)^\prime } = {\left[ {\frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{x}} \right)} \right]^\prime } \Leftrightarrow ...$ κτλ

k-ser · #9

Και αυτά τα θέματα όπως και τα θέματα των κανονικών εξετάσεων είναι πολλά. Πολλές - πάρα πολλές ασκήσεις.
Ο μαθητής καλείται να διαπραγματευθεί 12 πλήρεις ασκήσεις και 4 θέματα θεωρίας σε 3 ώρες!
Καλές ασκήσεις είναι. Από αυτές που διδάσκονται οι μαθητές μας.

Αναρωτιέμαι όμως αν αυτός ο τρόπος αξιολόγησης, των 12+ , ασκήσεων είναι ικανός να κρίνει τον καλό στα Μαθηματικά μαθητή.
Ο μαθητής, που θα γράψει άριστα μ' αυτά τα θέματα, θα πρέπει να έχει τη δυνατότητα να μην σκέφτεται. Απλώς να γράφει - να γράφει ασταμάτητα!
Αν κάποια στιγμή μπει στη διαδικασία να αναρωτηθεί ή να διερευνήσει κάτι, και αυτό του στοιχίσει περισσότερα από ν λεπτά, μάλλον θα δυσκολευτεί να ανταπεξέλθει.

Πρέπει δηλαδή να εκπαιδεύσουμε τους μαθητές μας κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μη χρειάζεται να σκέφτονται. Να λειτουργούν μηχανικά στη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος. Εδώ θα κάνω αυτό, εκεί θα εφαρμόσω αυτή τη μέθοδο, αυτό πρέπει να το γράψω μ’ αυτόν τον τρόπο,….
Και έστω ,ότι έχουμε μαθητές εργατικούς και υπάκουους και καταφέρνουμε την παραπάνω εκπαίδευση. Σε καμιά περίπτωση αυτή η εκπαίδευση δεν είναι εκπαίδευση στην επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος.

Για να λύσεις ένα μαθηματικό πρόβλημα και όχι να εφαρμόσεις μια αλγοριθμική διαδικασία υπάρχουν κάποιοι περιορισμοί:

Θα πρέπει να το θέλεις. Να θέλεις απλά και μόνο να το λύσεις – τίποτα περισσότερο. Αυτή η θέληση είναι εξαρτώμενη από την ικανότητα να λύνεις προβλήματα και αυτή, η ικανότητα, δεν είναι η ίδια σ’ όλους τους ανθρώπους. Θα το θέλαμε σαν εκπαιδευτικοί. Επιδιώκουμε να το πετύχουμε μα, πολλοί από τους μαθητές μας, πολλοί από τους συνανθρώπους μας - το γνωρίζουμε καλά – έχουν μόνο την αντίστροφη ικανότητα.

Θα πρέπει να έχεις τα εφόδια να το λύσεις. Και το πιο σημαντικό από αυτά είναι ο χρόνος. Δεν χρειάζεσαι άπειρο χρόνο, αλλά αν αισθανθείς ότι ο χρόνος που σου χρειάζεται δεν επαρκεί … δύσκολα τα πράγματα. Και αν σκεφτούμε ότι, εντάξει: ο περιορισμός του χρόνου είναι κοινός για όλους - ο καλός θα ξεχωρίσει έτσι κι αλλιώς, θα διαφωνήσω. Έχω δει πολύ καλούς στα μαθηματικά μαθητές - αστέρια αλλά που, για να λάμψουν, θέλουν το χρόνο τους.

Θα πρέπει να έχεις μαθηματική παιδεία και αυτή, έχω την αίσθηση - μπορεί να κάνω λάθος, δεν μπορεί να υπάρξει χωρίς την τέχνη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Δεν θέλω να γράψω περισσότερα. Απλά καταθέτω έναν (ακόμα) προβληματισμό - ερώτημα για το τι θέλουμε και τι πετυχαίνουμε τελικά με θέματα όπως αυτά που δίνονται σ’ αυτές τις εξετάσεις. Και δεν είναι κάποιες εξετάσεις. Καθορίζουν και, δυστυχώς, περιορίζουν το τι διδάσκουμε στα Μαθηματικά. Και εδώ υπάρχει ένας φαύλος κύκλος αιτιολόγησης των πράξεών μας: διδάσκουμε αυτό που ζητείται στις εξετάσεις και εξετάζουμε αυτό που διδάχτηκε. Ο κύκλος μπορεί να σπάσει μόνο αν το τολμήσουμε.

killbill · #10

προτείνω κάποιες εναλλακτικές λύσεις για τα Δ2 & Δ4 των ημερησίων (πολύ σύντομες) και τις θέτω προς συζήτηση και σχολιασμό.

Δ2.
ισοδύναμα ζητείται να δείξουμε ότι υπάρχει ξ ώστε $F'(\xi ) = \frac{{F(\beta )}}{{\beta - 1}} \Leftrightarrow f(\xi ) = \frac{{F(\beta )}}{{\beta - 1}}$

που ισχύει από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών για την f(x)

. Μένει βέβαια να δείξουμε ότι το κλάσμα $\frac{{F(\beta )}}{{\beta - 1}}$ ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης, δηλαδή είναι αρνητικός αριθμός, που είναι πολύ εύκολο.

Δ4.
θέτουμε t = ux,x > 0

αρκεί να αποδείξουμε ότι: $\int\limits_1^x {f(u)\frac{t}{u}du \le \int\limits_1^x {tf(t)dt \Leftrightarrow } } \int\limits_1^x {f(u)\frac{1}{u}du \le \int\limits_1^x {f(t)dt} }$ (1).

Αν x > 1

τότε ισχύει $\frac{{f(x)}}{x} \prec f(x)$ και ολοκληρώνοντας την τελευταία έχουμε την (1)

Αν 0 < x < 1

τότε η (1) γράφεται ισοδύναμα: $\int\limits_1^x {f(u)\frac{1}{u}du \le \int\limits_1^x {f(t)dt} } \Leftrightarrow - \int\limits_x^1 {f(u)\frac{1}{u}du \le - \int\limits_x^1 {f(t)dt} } \Leftrightarrow \int\limits_x^1 {f(u)\frac{1}{u}du \ge \int\limits_x^1 {f(t)dt} }$
όμως για 0 < x < 1

ισχύει $\frac{{f(x)}}{x} \succ f(x)$ και ολοκληρώνοντας έχουμε πάλι την (1).

Μάκης Χατζόπουλος · #11

Να σημειώσω ότι υπάρχουν αρκετές και ενδιαφέρουσες εναλλακτικές λύσεις, όπως τις βρήκα μετά ή όπως μου πρότειναν κάποιοι συνάδελφοι... Οι λύσεις που έδωσα είναι η αρχή και όχι το τέλος των σκέψεων - λύσεων... Απλά τις πληκτρολόγησα αφού έως τότε δεν υπήρχαν στο διαδίκτυο, μετά βρήκα κάποια Φροντιστήρια που το έπραξαν.

Είναι δυσάρεστο να βλέπεις τους καθηγητές να απαξιώνουν με την αδιαφορία τους τις Επαναληπτικές εξετάσεις, αντίθετα μεγάλο ενδιαφέρον δίνουμε την επόμενη χρονιά στις κανονικές εξετάσεις, εκεί όλοι ψάχνουν θέματα, λύσεις, τότε διαπιστώνουμε τις εναλλακτικές λύσεις, τα λάθη κτλ... Νιώθω ότι μετά από τις κανονικές εξετάσεις πάμε διακοπές, σταματάμε οποιαδήποτε επαφή και κλείνουμε τους διακόπτες. Συνηγορούν σε όλα αυτά και τα στατιστικά του blog μου. Όταν είχαμε τις κανονικές εξετάσεις, η προέλευση ήταν τετραπλάσια από την κανονική (δεν λέω τα νούμερα για να μην σας τρομάξω), στις επαναληπτικές εξετάσεις η προέλευση έπεφτε στο μισό από τα συνηθισμένα νούμερα που κάνει το blog. Δεν είναι δυσάρεστο; Δηλαδή ενδιαφερόμαστε μόνο όταν δίνουν οι μαθητές μας; Ως καθηγητές δεν μας ενδιαφέρει ένα διαγώνισμα από την ίδια επιτροπή; Δεν έχουμε περιέργεια; Δεν έχουμε άγχος για το τι τέθηκε; Ποιο είναι το σκεπτικό της επιτροπής; Δεν μας προβληματίζει ποια θέματα θα έθεταν αν θελαν να ήταν λίγο πιο απαιτητικά;

Βασίλη η λύση που δίνεις είναι της ίδιας λογικής με την δική μου, κατασκευαστικά (απλά χρησιμοποίησες πονηρά το σύνολο τιμών και καθάρισες πιο γρήγορα). Killbil η λύση με την ολοκλήρωση κατά μέλη, μπορείς να την αποφύγεις έξυπνα για να μην αποδείξεις την βασική άσκηση...

Όσο για τα θέματα, φαίνεται ότι είναι ίδιας λογικής και τεχνικής με αυτά των κανονικών εξετάσεων, ίδια σε δυσκολία (πιο απλό το Δ1) και μεγάλος όγκος. Δεν ξέρω αν προλαβαίνει ένας μαθητής αρκετά διαβασμένος σε τρεις ώρες να ασχοληθεί με όλα τα ερωτήματα σοβαρά, συμφωνώ με τον Κώστα σε αυτό το ζήτημα, πρέπει η επιτροπή να επανεξετάσει την γραμμή της. Πάντως τα θέματα είχαν μια πληρότητα, αφού υπήρχαν όλα τα θεωρήματα, όλες οι τεχνικές και τα συνηθισμένα κόλπα των εξετάσεων... δεν βρήκα κάποια ενδιαφέρουσα σκέψη, μια σφραγίδα σε ένα ερώτημα που να με εντυπωσιάσει, προσοχή εδώ μιλώ με την ιδιότητα του καθηγητή και όχι του μαθητή που σε αυτόν απευθύνονται. Νομίζω ότι δεν είχα την φαντασία που θα ήθελα, παρόλα αυτά ήταν σωστά κατασκευασμένα και δεν χρίζουν σχολιασμό ως προς την ορθότητα τους.

Θέλω επίσης να σημειώσω την νέα τάση που παρατήρησα φέτος στις εξετάσεις, να υπάρχουν ίδιες ασκήσεις με το σχολικό βιβλίο (κυρίως το είδαμε στην Γενική Παιδεία) και να τις έχουν εμπλουτίσει με περισσότερα υποερωτήματα.... είναι σωστό και νομίζω ότι κάποια στιγμή πρέπει να γίνει θεσμός. Το βιβλίο έχει καταπληκτικές ασκήσεις και κυρίως ασκήσεις που απαιτούμε να γνωρίζει ο μαθητής, ακόμα μια άσκηση από το σχολικό βιβλίο ο μαθητής είναι εξοικειωμένος και μπορεί να την δουλέψει πιο εύκολα και γρήγορα, είναι της λογικής που γνωρίζει, έτσι επιβραβεύουμε τον διαβασμένο μαθητή, αυτός δεν είναι ο στόχος μας; Είναι καιρός να αλλάξουμε πορεία, να επικεντρωθούμε στο σχολικό βιβλίο, πάντα θεωρούσα την τακτική του Νίκου (Μαυρογιάννη) να θέτει στα διαγωνίσματα του ερωτήματα από το σχολικό βιβλίο, είναι μια καταπληκτική σκέψη που θέλω να την υιοθετήσω.

Και κάτι εκτός θέματος...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

killbill · #12

και να συμπληρώσω σε όλα αυτά, ότι ο μαθητής έχει να γράψει και την απόδειξη του θεωρήματος (κάτι που δεν κάνουμε εμείς όταν λύνουμε τα θέματα) καθώς επίσης και να καθαρογράψει όλες τις απαντήσεις αφού τις λύσει στο πρόχειρο, κάτι που επίσης εμείς δεν κάνουμε!
Αλήθεια αναρωτιέμαι και εγώ αν φτάνει ο χρόνος.... όχι για να τα γράψεις αλλά για να σκεφτείς!

killbill · #13

στο θέμα Δ4, είδα σε κάποιες δημοσιεύσεις λύσεων από φροντιστήρια το εξής:
μετά την ανάθεση $\frac{t}{x} = u$ το ολοκλήρωμα $\int\limits_1^x {xf(u)du}$ που προκύπτει από την ανάθεση αυτή, το γράφουν ξανά ως $\int\limits_1^x {xf(t)dt}$ δηλαδή ως προς

. Έτσι ώστε και οι δύο όροι ολοκλήρωσης να είναι ως προς

.
Είναι επιτρεπτό αυτό;
Πιστεύω πως όχι. Από την στιγμή που έχει γίνει η ανάθεση $\frac{t}{x} = u$ δεν μπορούμε στην συνέχεια να θέσουμε u=t

.
Εντάξει δεν επηρεάζει την λύση της συγκεκριμένης άσκησης, όμως κάτι τέτοιο πιστεύω δεν είναι επιτρεπτό...

#14

killbill έγραψε:στο θέμα Δ4, είδα σε κάποιες δημοσιεύσεις λύσεων από φροντιστήρια το εξής:
μετά την ανάθεση $\frac{t}{x} = u$ το ολοκλήρωμα $\int\limits_1^x {xf(u)du}$ που προκύπτει από την ανάθεση αυτή, το γράφουν ξανά ως $\int\limits_1^x {xf(t)dt}$ δηλαδή ως προς . Έτσι ώστε και οι δύο όροι ολοκλήρωσης να είναι ως προς .
Είναι επιτρεπτό αυτό;
Πιστεύω πως όχι. Από την στιγμή που έχει γίνει η ανάθεση $\frac{t}{x} = u$ δεν μπορούμε στην συνέχεια να θέσουμε .
Εντάξει δεν επηρεάζει την λύση της συγκεκριμένης άσκησης, όμως κάτι τέτοιο πιστεύω δεν είναι επιτρεπτό...

Είναι σωστό. Δεν αλλάζει τίποτα παραπάνω από το όνομα της μεταβλητής (ολοκλήρωσης).

killbill · #15

Η παρατήρησή μου στηρίζεται σε αντίστοιχο σχόλιο που υπάρχει σε άσκηση του βιβλίου "Επαναληπτικά θέματα Γ Λυκείου" του Λάμπρου κ.α εκδόσεις Κανγκουρό όπου στην άσκηση 15 σελίδα 24 διαπραγματεύεται ακριβώς αυτό το θέμα. Εκεί έχει ένα παράδειγμα όπου κάτι τέτοιο μπορεί να οδηγήσει σε παράδοξα αποτελέσματα. Αντιγράφω από το βιβλίο την παρατήρηση του συγγραφέα όπου ρωτάει που βρίσκεται το λάθος:

"Έχει γίνει αλλαγή μεταβλητής δύο φορές. Την πρώτη έγινε η και την δεύτερη η . Εδώ είναι και το σφάλμα. Η πρώτη ισότητα έχει δεσμεύσει την σχέση των χ και y οπότε δεν έχουμε δικαίωμα να θέσουμε "

είναι αντίστοιχο με αυτό που ανέφερα παραπάνω, και που πιστεύω ότι δεν είναι επιτρεπτό.

parmenides51 · #16

killbill
καλύτερα να παραθέσεις πλήρες όλο το παράδειγμα γιατί με επιλεκτική παράθεση δεν βοηθάς τον διάλογο
φιλικά

killbill · #17

σύμφωνοι, απλά νόμιζα μήπως ξέφευγε η συζήτηση, αλλά εντάξει είναι στα πλαίσια της συζήτησης. Λοιπόν το παράδειγμα είναι το παρακάτω:

ΑΣΚΗΣΗ
Να υπολογίσετε το $\int {e^{2x} } dx$

ΛΥΣΗ
θέτουμε y = 2 x

και βρίσκουμε ότι αυτό ισούται με $\frac{1}{2}e^{2x} + c_1 (1)$

Τώρα ο μαθητής λέει το εξής:
Έχουμε $\int {e^{2x} } dx = \frac{1}{2}\int {e^y dy} = \frac{1}{2}\int { e^x dx} = \frac{1}{2} { e^x } + c_2 (2)$

Εξισώνοντας τις (1) & (2) έχουμε $\frac{1}{2}e^{2x} + c_1 = {e^x } + c_2$ όπου για x = 0

έχουμε

και άρα τελικά καταλήγουμε ότι $e^{2x} = {e^x }$ άτοπο.

Που είναι το λάθος; Απάντηση: το λάθος βρίσκεται ότι για να προκύψει η σχέση (2) ο μαθητής έθεσε y = x

ενώ μόλις πριν είχε θέσει y = 2 x

Μάκης Χατζόπουλος · #18

Εγώ θα μείνω σε ένα άλλο σημείο, που χρειαζόταν το σύνολο τιμών της συνάρτηση

στα δεδομένα;

Η λύση που πρότεινα δεν το έλαβε καθόλου υπόψιν, νομίζω ότι έχουμε περιττό δεδομένο, να ναι καλά ο Βασίλης που με την λύση του μου θύμισε αυτό το δεδομένο.

Κάτι ανάλογο έπραξαν και στο Γ3 (που δινόταν ότι η συνάρτηση είναι κυρτή, ενώ θα μπορούσαν να την αποδείξουν μέσω του τύπου της), απλά σε αυτή την περίπτωση η απόδειξη απαιτεί πολλές πράξεις, κόπο και χρόνο, κάτι που δεν περίσσευε στους μαθητές, οπότε σε αυτό το σημείο το δέχομαι πιο εύκολα, παρόλα αυτά είναι πατέντες που δεν κοσμούν τα θέματα των Πανελληνίων εξετάσεων.

Μάκης Χατζόπουλος · #19

killbill έγραψε:σύμφωνοι, απλά νόμιζα μήπως ξέφευγε η συζήτηση, αλλά εντάξει είναι στα πλαίσια της συζήτησης. Λοιπόν το παράδειγμα είναι το παρακάτω:

ΑΣΚΗΣΗ
Να υπολογίσετε το $\int {e^{2x} } dx$

ΛΥΣΗ
θέτουμε και βρίσκουμε ότι αυτό ισούται με $\frac{1}{2}e^{2x} + c_1 (1)$

Τώρα ο μαθητής λέει το εξής:
Έχουμε $\int {e^{2x} } dx = \frac{1}{2}\int {e^y dy} = \frac{1}{2}\int { e^x dx} = \frac{1}{2} { e^x } + c_2 (2)$

Εξισώνοντας τις (1) & (2) έχουμε $\frac{1}{2}e^{2x} + c_1 = {e^x } + c_2$ όπου για έχουμε και άρα τελικά καταλήγουμε ότι $e^{2x} = {e^x }$ άτοπο.

Που είναι το λάθος; Απάντηση: το λάθος βρίσκεται ότι για να προκύψει η σχέση (2) ο μαθητής έθεσε ενώ μόλις πριν είχε θέσει

Νομίζω ότι η δεύτερη σχέση σου είναι λάθος, για δες την...

k-ser · #20

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Εγώ θα μείνω σε ένα άλλο σημείο, που χρειαζόταν το σύνολο τιμών της συνάρτηση στα δεδομένα;

Η λύση που πρότεινα δεν το έλαβε καθόλου υπόψιν, νομίζω ότι έχουμε περιττό δεδομένο, να ναι καλά ο Βασίλης που με την λύση του μου θύμισε αυτό το δεδομένο.

Κάτι ανάλογο έπραξαν και στο Γ3 (που δινόταν ότι η συνάρτηση είναι κυρτή, ενώ θα μπορούσαν να την αποδείξουν μέσω του τύπου της), απλά σε αυτή την περίπτωση η απόδειξη απαιτεί πολλές πράξεις, κόπο και χρόνο, κάτι που δεν περίσσευε στους μαθητές, οπότε σε αυτό το σημείο το δέχομαι πιο εύκολα, παρόλα αυτά είναι πατέντες που δεν κοσμούν τα θέματα των Πανελληνίων εξετάσεων.

Μάκη αυτό με το σύνολο τιμών τώρα το πρόσεξα ότι δινόταν! Λύνοντας τα θέματα, για το Δ4 χρειάστηκε να δείξω ότι η συνάρτηση είναι αρνητική, κάτι που απ' ότι βλέπω δινόταν! Όπως δινόταν και τα κοίλα της συνάρτησης στο Γ3, παρ' ότι προέκυπταν! Οι συνάδελφοι που έδωσαν τα θέματα είχαν την αίσθηση ότι τα ζητούμενα είναι πολλά. Έκριναν όμως απαραίτητο να ζητήσουν συγκεκριμένα πράγματα, όπως τα Γ4, Δ4 και συνεπώς κάποια αυτονόητα ζητούμενα έγιναν δεδομένα!

killbill έγραψε:σύμφωνοι, απλά νόμιζα μήπως ξέφευγε η συζήτηση, αλλά εντάξει είναι στα πλαίσια της συζήτησης. Λοιπόν το παράδειγμα είναι το παρακάτω:

ΑΣΚΗΣΗ
Να υπολογίσετε το $\int {e^{2x} } dx$

ΛΥΣΗ
θέτουμε και βρίσκουμε ότι αυτό ισούται με $\frac{1}{2}e^{2x} + c_1 (1)$

Τώρα ο μαθητής λέει το εξής:
Έχουμε $\int {e^{2x} } dx = \frac{1}{2}\int {e^y dy} = \frac{1}{2}\int { e^x dx} = \frac{1}{2} { e^x } + c_2 (2)$

Εξισώνοντας τις (1) & (2) έχουμε $\frac{1}{2}e^{2x} + c_1 = {e^x } + c_2$ όπου για έχουμε και άρα τελικά καταλήγουμε ότι $e^{2x} = {e^x }$ άτοπο.

Που είναι το λάθος; Απάντηση: το λάθος βρίσκεται ότι για να προκύψει η σχέση (2) ο μαθητής έθεσε ενώ μόλις πριν είχε θέσει

killbill έγραψε:στο θέμα Δ4, είδα σε κάποιες δημοσιεύσεις λύσεων από φροντιστήρια το εξής:
μετά την ανάθεση $\frac{t}{x} = u$ το ολοκλήρωμα $\int\limits_1^x {xf(u)du}$ που προκύπτει από την ανάθεση αυτή, το γράφουν ξανά ως $\int\limits_1^x {xf(t)dt}$ δηλαδή ως προς . Έτσι ώστε και οι δύο όροι ολοκλήρωσης να είναι ως προς .
Είναι επιτρεπτό αυτό;
Πιστεύω πως όχι. Από την στιγμή που έχει γίνει η ανάθεση $\frac{t}{x} = u$ δεν μπορούμε στην συνέχεια να θέσουμε .
Εντάξει δεν επηρεάζει την λύση της συγκεκριμένης άσκησης, όμως κάτι τέτοιο πιστεύω δεν είναι επιτρεπτό...

Βασίλη, στο αόριστο ολοκλήρωμα πρέπει να προσέχουμε την αντικατάσταση. Η αντικατάσταση σ' αυτό είναι βοηθητική και πρέπει μετά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος να τη λάβουμε υπόψιν μας και να την "αναιρέσουμε".
Στο ορισμένο ολοκλήρωμα η αντικατάσταση είναι διαφορετική, εφόσον αλλάξουμε και τα όρια ολοκλήρωσης. Αυτό, διότι στον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος χρειαζόμαστε μόνο τις τιμές της αρχικής στα όρια ολοκλήρωσης.
Τo ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_a^b{f\left(g(t)\right)g^{\prime}(t)}dt$ και το $\displaystyle \int_{g(a)}^{g(b)}{f(t)}dt$ , που προκύπτει από το πρώτο με την αντικατάσταση $\displaystyle g(t)=u$ και μετονομασία της $\displaystyle u$ σε $\displaystyle t$ ,
είναι ίσα, αφού αν $\displaystyle F$ αρχική της $\displaystyle f$ η τιμή τους είναι $\displaystyle F\left(g(b)\right)-F\left(g(a)\right)$
Συνεπώς, γιατί να μην είναι επιτρεπτή η μετονομασία της μεταβλητής;

Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Μέλη σε σύνδεση