ΘΕΜΑ Γ2

#21

nikoszan έγραψε:Μια παρατήρηση.Ισχύει η ισοδυναμία
$\left\{ \begin{array}{l} g\left( x \right) = 0\\ g\left( x \right) \ge - 1\\ x \in {D_g} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g\left( x \right) = 0\\ x \in {D_g} \end{array} \right.$ .
Ν.Ζ.

Ακριβώς Νίκο. Η ισοδυναμία είναι που δεν δημιουργεί καμία αμφιβολία για την ορθότητα της λύσης που δόθηκε στο mathematica.

#22

Να λοιπόν που ζήσαμε και το trolling από μέλος της συντακτικής ομάδας του Ευκλείδη!

S.E.Louridas · #23

nikoszan έγραψε:Μια παρατήρηση.Ισχύει η ισοδυναμία
$\left\{ \begin{array}{l} g\left( x \right) = 0\\ g\left( x \right) \ge - 1\\ x \in {D_g} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g\left( x \right) = 0\\ x \in {D_g} \end{array} \right.$ .
Ν.Ζ.

Επειδή τυχαίνει να είμαι μέλος της Γραμματείας του περιοδικού Ευκλείδης Β΄ της Ε.Μ.Ε. την οποία αγαπώ σέβομαι και τιμώ με παρουσία στο περιοδικό αυτό από Μαθητής έως και τα τώρα, αλλά ταυτόχρονα και μέλλος του mathematica που το θεωρώ επιστημονικά κορυφαίο και Μαθηματική και όχι μόνο οικογένεια μου με παρουσίες εγνωσμένης αξίας πολλές από τις οποίες έχουν γράψει πολλές φορές στο παρελθόν στο περιοδικό Ευκλείδης Β΄, με καλύπτει απόλυτα το σχόλιο του
Νίκου Ζανταρίδη.
Ένα τεράστιο κατά την άποψή μου πλεονέκτημα του mathematica είναι ότι εδώ και σε πολλές περιπτώσεις μπαίνουμε στο γήπεδο σηκώνουμε τα μανίκια και καταλήγουμε στο σωστό και στον πλουραλισμό μέσω ζωντανού μαθηματικού διαλόγου όπου σε κάποιες περιπτώσεις φαίνεται και το πώς πρέπει να γίνεται η διαχείριση μίας πιθανόν λάθος Μαθηματικής στιγμής.
Δηλαδή ενίοτε μπαίνουμε στο γήπεδο χωρίς μακιγιάζ και γραβάτες.
Όπως έλεγε ο D. Hilbert: «στα Μαθηματικά η διαχείριση των πιθανόν λάθος σκέψεων που κάνουμε κατά την διαδικασία επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος ανοίγει την βασιλική οδό προς την επίλυση του Μαθηματικού προβλήματος».
Επιτρέψτε μου τώρα να καταθέσω ότι ο Αποστόλης Κακαβάς είναι κατ' αρχάς γονιός. Είναι πάρα πολύ καλός Μαθηματικός αλλά και αδαμάντινος χαρακτήρας. Είναι μάχιμος συνάδελφος της Δημόσιας εκπαίδευσης και μέλος του 32ου βαθμολογικού κέντρου εδώ στο Αιγάλεω, όπου γνωρίζω ότι διορθώνει τα γραπτά με γνώμονα το συμφέρον των παιδιών και μόνο. Συνεπώς το πρόβλημα θεωρείται "λελυμένο" και προσωπικά θα ήθελα τον Αποστόλη Κακαβά και στην παρέα μας εδώ.
Ας μην ξεχνάμε ότι με παιδιά ασχολούμαστε και επομένως καμμιά φορά γινόμαστε και μείς παιδιά. Ξέρετε άλλο επάγγελμα που να δίνει αυτή τη χαρά;

#24

Σωτήρη, φαντάζομαι θα συμφωνείς με το ρητό για τη γυναίκα του Καίσαρα. Σωστά;

S.E.Louridas · #25

Ναι Θάνο Ναι, αλλά άνθρωποι γαρ...

#26

Τουλάχιστον, ύστερα από αυτόν τον διαλογο, ας ελπίσουμε ότι δεν θα κόψει μονάδες ο Αποστόλης από κάποιον μαθητή που θα έλυσε το θέμα με τον τρόπο που λύθηκε και στο mathematica. Mετά την παρέμβαση του Σωτήρη, για το ποιος είναι
ο Αποστόλης, είναι βέβαιο ότι δεν θα αδικηθεί κανένας υποψήφιος.
Αποστόλη, καλώς ήρθες στο mathematica. Εδώ, χρειαζόμαστε ανθρώπους οι οποίοι έχουν το θάρρος να εκφράζουν την άποψή τους, χωρίς τον φόβο μήπως κάνουν λάθος. Γιατί όπως πολλές φορές έχουμε γράψει εδώ: Από τα λάθη μας μαθαίνουμε. Κανείς δεν έχει ειρωνευτεί ή υποτιμήσει κάποιον που θα γράψει κάτι που δεν στέκει. Και πρώτος εγώ, είμαι που αρκετές φορές έχω κάνει λάθη και πάμπολες φορές έχω προσπαθήσει να λύσω προτεινόμενη άσκηση και έχω ξενυχτήσει χωρίς αποτέλεσμα.
ΚΑΛΟ ΒΡΑΔΥ

nikoszan · #27

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
nikoszan έγραψε:Μια παρατήρηση.Ισχύει η ισοδυναμία
$\left\{ \begin{array}{l} g\left( x \right) = 0\\ g\left( x \right) \ge - 1\\ x \in {D_g} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g\left( x \right) = 0\\ x \in {D_g} \end{array} \right.$ .
Ν.Ζ.
Ακριβώς Νίκο. Η ισοδυναμία είναι που δεν δημιουργεί καμία αμφιβολία για την ορθότητα της λύσης που δόθηκε στο mathematica.

.
Δημήτρη,με την παρατηρηση που ανέφερα ήθελα να θιξω δύο σημεία
1)η λύση του

προφανώς είναι ορθή
2)ο περιορισμός $g\left( x \right) \ge - 1$ είναι τελικά πλεονασμός.

Ιστοσελίδα · #28

Να χαιρετήσω την είσοδο στην λέσχη του φίλου ΚΑΚΑΒΑ ΑΠΟΣΤΟΛΗ που για πρώτη φορά ασχολείται με το διαδικτυο και δεν γνωρίζει κανόνες και νομους δεοντολογίας (κεφαλαία γράμματα, τρόποι έκφρασης κτλ). Είμαι σίγουρος ότι θα κατανοήσει την μεγάλη οικογένεια του mathematica και σιγά σιγά θα συμμετάχει στα δρώμενα της λέσχης. Η κακή εντύπωση που έκανε οφείλεται μάλλον σε άγνοια των διαδικτιακών κανόνων παρά στο ύφος του χαρακτήρα του.

Απόστολες καλώς ήλθες δες την άσκηση με ηρεμία και αν όντος βλέπεις κάποιο πρόβλημα στην λύση της ας το συζητήσουμε....

#29

nikoszan έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
nikoszan έγραψε:Μια παρατήρηση.Ισχύει η ισοδυναμία
$\left\{ \begin{array}{l} g\left( x \right) = 0\\ g\left( x \right) \ge - 1\\ x \in {D_g} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g\left( x \right) = 0\\ x \in {D_g} \end{array} \right.$ .
Ν.Ζ.
Ακριβώς Νίκο. Η ισοδυναμία είναι που δεν δημιουργεί καμία αμφιβολία για την ορθότητα της λύσης που δόθηκε στο mathematica.
.
Δημήτρη,με την παρατηρηση που ανέφερα ήθελα να θιξω δύο σημεία
1)η λύση του προφανώς είναι ορθή
2)ο περιορισμός $g\left( x \right) \ge - 1$ είναι τελικά πλεονασμός.

Ναι, Νίκο. Αν διαβάσεις προηγούμενη δημοσίευσή μου σε αυτήν την συζήτηση, έγραψα ότι αυτήν την ισοδυναμία (και άρα ή γράψουμε ή δεν γράψουμε τον περιορισμό είναι το ίδιο πράγμα), κάποιοι από εμάς τους επιμελητές την συζητήσαμε πριν να δημοσιευθούν οι λύσεις. Επιλέξαμε τελικά να γράψουμε αυτήν (με τον πλεονασμό) επειδή θεωρήσαμε ότι δεν βλάφτει να δώσουμε ένα πιο "στενό" σύνολο στο οποίο ανήκει το $\displaystyle{x}$ , μιας και ίσως κάποιοι μαθητές θα το έγραφαν και έτσι.
Εκ των πραγμάτων, φάνηκε ότι καλώς επιλέξαμε αυτόν τον τρόπο και να εξηγήσω το γιατί:
Ας υποθέσουμε ότι δεν γραφόταν έτσι, αλλά χωρίς τον επί πλέον περιορισμό. Σκέφτεσαι πόσο θα αδικούταν κάποιος μαθητής, ο οποίος θα έγραφε την λύση αυτή και κάποιος βαθμολογητής θα την θεωρούσε λάθος λύση;
Γιατί, άλλο πράγμα είναι μια λάθος λύση και άλλο να γραφτεί κάτι επί πλέον στην διάρκεια της λύσης.

Καλό βράδυ

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ · #30

όπως θα δείτε σε όλα μου τα σχόλια αναφέρομε στο
σύνολο ορισμού της εξίσωσης για το οποίο πιστεύω ότι έχω
δίκαιο ,αν παρανόησα φυσικά και ζητάω συγγνώμη.

hsiodos · #31

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε:όπως θα δείτε σε όλα μου τα σχόλια αναφέρομε στο
σύνολο ορισμού της εξίσωσης για το οποίο πιστεύω ότι έχω
δίκαιο ,αν παρανόησα φυσικά και ζητάω συγγνώμη.

Νομίζω πως τελικά πρόκειται περί παρεξήγησης αφού από κανένα δεν αμφισβητήθηκε πως το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το

.

Αποστόλη καλώς ήλθες στην παρέα μας.

Γιώργος

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ · #32

όπως βλέπετε σε όλα μου τα σχόλια αναφέρομαι
στο σύνολο ορισμού της εξίσωσης για το οποίο
εξακολουθώ να πιστέυω ότι έχω δίκιο.
Αν παρανόησα φυσικά και ζητάω συγγνώμη.

#33

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε:όπως θα δείτε σε όλα μου τα σχόλια αναφέρομε στο
σύνολο ορισμού της εξίσωσης για το οποίο πιστεύω ότι έχω
δίκαιο ,αν παρανόησα φυσικά και ζητάω συγγνώμη.

Καλησπέρα.
Μα τόσοι άνθρωποι βγαίνουν και σας λένε πως έχετε άδικο κι εσείς
ακόμη επιμένετε πως έχετε δίκιο;
Παρακαλώ ελέγξτε τι γράψατε μέχρι τώρα.
Μιλήσατε με τον τρόπο που φαίνεται παραπάνω για λάθος.
Προσέξτε γιατί μας διαβάζουν αρκετοί.
Καλό βράδυ.

S.E.Louridas · #34

Μία μαθηματική (και όχι δικαστικού τύπου) ερώτηση:
Έστω ότι έχουμε μία εξίσωση f(x)=0

με πεδίο ορισμού της το σύνολο

.
Είναι γνωστό ότι τότε το σύνολο των λύσεων της θα είναι ένα υποσύνολο του συνόλου

.
Αν τεκμηριώσουμε υποθέτοντες οτι υπάρχει πραγματική ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

(έστω η $x_0 \in {\Cal R}$ ) πώς αυτή ανήκει σε σύνολο $A \subset {\Cal R}$ , τότε δυνάμεθα από μαθηματική άποψη να λύσουμε την εξίσωση f(x)=0

στο σύνολο

αντί του συνόλου

;

Η δική μου θεώρηση είναι ναί μπορούμε και αυτό καθότι είναι το ίδιο η επίλυση π.χ. της $\sqrt {x^2 + 1} = x + 5,\;x \in {\Cal R}$ με την επίλυση της $\sqrt {x^2 + 1} = x + 5,\;x \in \left( { - 5, + \infty } \right)\subset R$ αφού για τον τυχόντα πραγματικό

με $\sqrt {r^2 + 1} = r + 5,\;r \in {\Cal R} \Rightarrow r > - 5.$
Η λύση της εξίσωσης είναι η x=-2,4>-5

.

rmathman · #35

S.E.Louridas έγραψε:Μία μαθηματική (και όχι δικαστικού τύπου) ερώτηση:
Έστω ότι έχουμε μία εξίσωση με πεδίο ορισμού της το σύνολο .
Είναι γνωστό ότι τότε το σύνολο των λύσεων της θα είναι ένα υποσύνολο του συνόλου .
Αν τεκμηριώσουμε υποθέτοντες οτι υπάρχει πραγματική ρίζα της εξίσωσης (έστω η $x_0 \in {\Cal R}$ ) πώς αυτή ανήκει σε σύνολο $A \subset {\Cal R}$ , τότε δυνάμεθα από μαθηματική άποψη να λύσουμε την εξίσωση θεωρούντες σαν σύνολο ορισμού της το σύνολο αντί του συνόλου ;

Σε αυτή την περίπτωση, νομίζω οτι η σωστή διατύπωση είναι να διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
- Στο σύνολο R-A

: η εξίσωση δεν έχει λύση.
- Στο σύνολο

: η εξίσωση ...

Μάκης Χατζόπουλος · #36

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε:κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση άλλά
όλες οι λύσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα και όχι
κάθε φορά διαφορετικό.Οσο για τις συμβουλές
κράτα τες για τον εαυτό σου.
Επειδή καποιοί ρωτουν ποιός είμαι
άπαντώ απο την συντακτική ομάδα του
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β της ΕΜΕ.

Εγώ ένα δεν κατάλαβα, μιλήσατε σαν "Αποστόλης Κακαβάς" ή ως εκπρόσωπος της "συντακτική ομάδα του Ευκλείδη Β΄";

#37

rmathman έγραψε:
S.E.Louridas έγραψε:Μία μαθηματική (και όχι δικαστικού τύπου) ερώτηση:
Έστω ότι έχουμε μία εξίσωση με πεδίο ορισμού της το σύνολο .
Είναι γνωστό ότι τότε το σύνολο των λύσεων της θα είναι ένα υποσύνολο του συνόλου .
Αν τεκμηριώσουμε υποθέτοντες οτι υπάρχει πραγματική ρίζα της εξίσωσης (έστω η $x_0 \in {\Cal R}$ ) πώς αυτή ανήκει σε σύνολο $A \subset {\Cal R}$ , τότε δυνάμεθα από μαθηματική άποψη να λύσουμε την εξίσωση θεωρούντες σαν σύνολο ορισμού της το σύνολο αντί του συνόλου ;

Σε αυτή την περίπτωση, νομίζω οτι η σωστή διατύπωση είναι να διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
- Στο σύνολο R-A : η εξίσωση δεν έχει λύση.
- Στο σύνολο Α : η εξίσωση ...

Καλημέρα.

Όχι, δεν είμαστε υποχρεωμένοι να διακρίνουμε περιπτώσεις.
Μπορούμε να επιλέξουμε να εργασθούμε με οποιονδήποτε τρόπο από αυτούς που έγραψε ο Σωτήρης.
Και θα πάω και λίγο ακόμα παραπέρα: Έστω ότι έχουμε να λύσουμε την εξίσωση: $\displaystyle{2^x +x=1}$
Φυσικά, εδώ η πιο ΄απλή λύση είναι να πούμε: η $\displaystyle{x=0}$ , είναι μια προφανής λύση και επειδή η συνάρτηση
$\displaystyle{f(x)=2^x +x-1}$ είναι γνησίως αύξουσα, η πιο πάνω λύση είναι μοναδική.
Αν όμως κάποιος γράψει: $\displaystyle{2^x+x=1\Leftrightarrow 2^x =1-x}$ . Πρέπει $\displaystyle{1-x \geq 0\Leftrightarrow x\leq 1}$
Ψάχνουμε λοιπόν να βρούμε λύση μικρότερη ή ίση του 1. Παρατηρούμε ότι η $\displaystyle{x=0}$ είναι λύση και με την μονοτονία
(όπως και πριν), δείχνουμε ότι είναι μοναδική.
Τι θα πούμε; Ότι η δεύτερη λύση είναι λάθος; Ότι είναι μεν σωστή, αλλά έγιναν περιττά βήματα;
Προφανώς ούτε λάθος είναι, ούτε μπορούμε να ισχυριστούμε ότι είναι καλύτερη ποιοτικά η πρώτη. Γιατί
θα μπορούσε κάποιος να πει, ότι στενεύοντας το διάστημα στο οποίο βρίσκεται η λύση, είναι πιο εύκολο να την εντοπίσουμε "με το μάτι".

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ · #38

καλημέρα συνάδελφοι ελπίζω να μην γίνομαι κουραστικός με τις παρεμβάσεις
μου ,αλλά επειδή η εξίσωση έχει σύνολο ορισμού το $\mathbb{R}$ στην 2η προτεινόμενη
λύση δεν αναγράφεται αν έχει ρίζες ή όχι η εξίσωση για $x <\frac{-3}{2}$ . Πότε δεν αμφισβήτησα
ότι στο διάστημα αυτό δεν έχει λύση η εξίσωση,όπως πολύ σωστά ισχυρίζεστε ή ότι
δεν βρήκατε το σωστό διάστημα στο οποίο περιέχονται οι λύσεις.
Φιλικά ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ Κ.
ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ 1 .Γιά την επίλυση των άρρητων εξισώσεων συμφωνώ απόλυτα
με τους συναδέλφους ότι μπορούν να λυθούν με συνεπαγωγή και μετά με επαλήθευση
των πιθανών ριζών ή με ισοδυναμία, αλλά δεν ενούσα αυτό ,αλλά τα παραπάνω.
ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ 2 . Ολες οι απόψεις και σχόλια είναι προσωπικές.

#39

Είμαι πρόθυμος να δεχτώ ότι δεν έχω πάντα δίκιο, αλλά δεν έχω ποτέ άδικο.

Sam Goldwyn, 1879 - 1974, Αμερικανός κινηματογραφικός παραγωγός

chris · #40

ΚΑΚΑΒΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ έγραψε: στην 2η προτεινόμενη
λύση δεν αναγράφεται αν έχει ρίζες ή όχι η εξίσωση για χ <-3/2

Αναγράφεται άμεσα και μαθηματικά πλην ολογράφως.

Η λύση αναφέρει ξεκάθαρα ότι η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την:
$\displaystyle \begin{cases} g(x)=0 \\ g(x)\geq -1 \Leftrightarrow x\geq -\frac{3}{2} \end{cases}$
και έπειτα λέει μάλιστα επακριβώς ότι: "οι ρίζες της θα είναι αυτές του παραπάνω συστήματος".
Από αυτό είναι (κάτι παραπάνω από)ευνόητο ότι δεν έχει λύση για $\displaystyle x<-\frac{3}{2}$

ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Re: ΘΕΜΑ Γ2

Μέλη σε σύνδεση