Λύσεις Μαθ. κατ. 2009

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

Κώστα αν παρατήρησες χρησιμοποίησα τη λέξη θέμα στο πρώτο μήνυμα γιατί αναφερόμουν σε περίπτωση συγκεκριμένη, σε ένα θέμα που τέθηκε στις πανελλήνιες και όχι σε έναν γενικότερο προβληματισμό.
Δεν ρώτησα δηλαδή αν στέκει από μαθηματικής άποψης το

να τεθεί σαν πρόβλημα προς απόδειξη μια συνεπαγωγή με ψευδή πρόταση την Α;

Αυτό νομίζω πως είναι προφανές.
Αντιλαμβάνομαι το νόημα ενός θέματος συναρτήσει του σκοπού για τον οποίο τίθεται.
Σκοπός του συγκεκριμένου θέματος σίγουρα δεν ήταν να δημιουργήσει πρόβλημα στους εξεταζόμενους, δυστυχώς όμως, θα μπορούσε άνετα να είχε προκαλέσει.

και κάτι για να γελάσουμε : αν κάποιος μαθητής σαν απάντηση στο θέμα αυτό δεχόμενος τα δεδομένα κατέληγε στο ότι e=1 και συμπλήρωνε : μια συνάρτηση f που ικανοποιεί τις υποθέσεις θα ανήκει στο κενό σύνολο συνεπώς θα ικανοποιεί και τα ζητούμενα (χωρίς να το αποδείξει αυτό) καθώς επίσης και ότι f(x)=μισό κιλό φέτα για κάθε x, θα έπερνε το σύνολο των μονάδων;
Αν πιστεύεις πως όχι, τουλάχιστον συμφωνούμε (αν κάπου διαφωνήσαμε) στο ότι αυτό ήταν ένα θέμα που σίγουρα ξέφυγε από το σκοπό για τον οποίο τέθηκε.

[k-ser]

Αναστάση,
το έχω ξαναπεί: Στη ζωή μας, έχουμε δικαίωμα να διαφωνούμε και να αμφιβάλουμε για την αλήθεια ή όχι κάποιων δεδομένων, συμπερασμάτων ή συλλογισμών. Στα Μαθηματικά όμως, αυτό το δικαίωμα δεν το έχουμε.
Φτάνοντας στα όρια των Μαθηματικών: προτάσεις που δεν μπορούμε να γνωρίζουμε αν είναι αληθείς ή ψευδείς (:Γκέντελ), έχουμε δικαίωμα - ξανά - στη διαφωνία.
Κι εδώ, δεν είμαστε στα όρια των Μαθηματικών - έτσι κι αλλιώς, αυτά, δεν μπορούμε να τα καθορίσουμε (:Γκέντελ).

[Α.Κυριακόπουλος]

όταν αποδείξουμε αυτό που μας ζητάνε βάζουμε τελεία και η απόδειξη έχει τελειώσει

Εδώ κατα τη γνώμη μου υπάρχει ένα ζήτημα.
Παραπέμπω στη συζήτηση
viewtopic.php?f=55&t=1021&hilit=%CE%9C% ... E%BE%CE%B7
στο σχόλιο του gatou για το θέμα των πανελληνίων του 97 όπου συνάρτηση με τις δοθείσες ιδιότητες δεν υπήρχε, με αποτέλεσμα, υποθέτοντας κανείς την ύπαρξή της να μπορεί να αποδείξει "τα πάντα", ακόμα και ότι e=1
(όπως παρατήρησε ο gatos). Θα μπορούσε βέβαια κανείς να περιοριστεί στο να αποδείξει, όπως του ζητήθηκε, την αλήθεια της συνεπαγωγής : ύπαρξη τέθοιας f κάτι.. . Κάτα πόσο όμως έχει νόημα ένα τέθοιο θέμα;
Αν για παράδειγμα κάποιος μαθητής από περιέργεια επεξεργαζόταν λίγο παραπάνω τις δοθείσες σχέσεις και κατέληγε στο ότι e=1, δε θα αντιμετώπιζε τραγικό πρόβλημα;

Αγαπητέ Αναστάση.
Επειδή, για παράδειγμα, η συνεπαγωγή: , είναι αληθής, εσύ λες ότι έχουμε αποδείξει ότι e=1. Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι κάνεις μεγάλο λάθος. Η συνεπαγωγή: είναι αληθής και όχι η e=1. Kαι η συνεπαγωγή αυτή είναι αληθής ακριβώς επειδή η 3>5 είναι ψευδής και η e=1 είναι επίσης ψευδής. Λοιπόν, δεν είναι αληθές ότι μπορούμε να αποδείξουμε τα πάντα, όπως λες .
Όταν μας ζητάνε να αποδείξουμε μια συνεπαγωγή: , δεν μας ζητάνε να αποδείξουμε ούτε την p, ούτε την q, αλλά την πρόταση: , η οποία είναι αληθής και στην περίπτοση που η p είναι ψευδής( βλ. « Μέθοδοι απόδειξης και εύρεσης στα μαθηματικά» §2.6 σελ. 8, Γενικά Θέματα).
Έγραψα και επιμένω ότι: « Όταν αποδείξουμε αυτό που μας ζητάνε βάζουμε τελεία και η απόδειξη έχει τελειώσει». Στην περίπτωση που μας έχουν δώσει μια υπόθεση, έστω Α, και μας ζητάνε να αποδείξουμε κάποια σχέση, έστω Σ, τότε μας ζητάνε να αποδείξουμε την συνεπαγωγή: . Ένας τρόπος θα ήταν να αποδείξουμε ότι η υπόθεση Σ είναι ψευδής, οπότε η συνεπαγωγή είναι αληθής και άρα αποδείξαμε αυτό που μας ζητάνε και εδώ θα πρέπει να βάλουμε την τελεία και να γράψουμε Ο.Ε.Δ. ( βλ. « Μέθοδοι απόδειξης και εύρεσης στα μαθηματικά» §2.6 σελ. 8, παράδειγμα). Εγώ δεν είπα να βάλουμε τελεία και να γράψουμε Ο.Ε.Δ. χωρίς να έχουμε κάνει την απόδειξη.
Στο θέμα των εξετάσεων που αναφέρεις(1997, θέμα 3Β, 1ης δέσμης), ένας τρόπος λύσης θα ήταν να αποδείξουμε ότι τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει. Το θέμα όμως είναι αλλού, όταν πρόκειται για Πανελλήνιες Εξετάσεις. Αν ένας μαθητής έκανε μια τέτοια λύση, δηλαδή έδειχνε ότι τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει, θα τη θεωρούσαν σωστή; Πολύ αμφιβάλλω. Λοιπόν τι πρέπει να κάνουμε; Να προσαρμόσουμε τα μαθηματικά σε αυτά που ξέρουμε; Αυτό θα ήταν κατάντια.
• Όταν κάνουμε μάθημα και θέλουμε να αποδείξουμε, για παράδειγμα, ότι τα ύψη ΒΔ και ΓΕ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) είναι ίσα τι κάνουμε; Φτιάχνουμε στο πίνακα ένα τρίγωνο και λένε έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και προχωράμε. Το τρίγωνο που φτιάξαμε είναι πράγματι ισοσκελές; Όχι βέβαια. Υποθέτουμε ότι είναι ισοσκελές και συνεχίζουμε(δηλαδή, εργαζόμαστε με ψευδείς υποθέσεις). Ουσιαστικά ξέρεις τι εννοούμε; Έστω και αν δεν το καταλαβαίνουμε; Εννοούμε ότι, αν το τρίγωνο που φτιάξαμε δεν είναι ισοσκελές (υπόθεση ψευδής) , τότε η συνεπαγωγή με συμπέρασμα αυτά που θα πούμε, είναι αληθής( προσοχή, επαναλαμβάνω η συνεπαγωγή) . Βλέπεις λοιπόν ότι χωρίς τη Μαθηματική Λογική είναι αδύνατον να κάνουμε μαθηματικά και πολύ περισσότερο να εμβαθύνουμε σε αυτά.
Το θέμα: « ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗΣ» το έχω αναπτύξει διεξοδικά σε μια εργασία μου, την οποία σκοπεύω να παρουσιάσω στο συνέδριο της Ε.Μ.Ε. Αλλά και στην εργασία: « Μέθοδοι απόδειξης και εύρεσης στα μαθηματικά» που έχω δημοσιεύσει στα «Γενικά Θέματα» αναφέρομαι στο θέμα αυτό.
Θέλω ακόμα να σου πω ότι αυτά που γράφεις σε ένα άλλο μήνυμά σου, ως απάντηση στον Κώστα Σερίφη, είναι πράγματι για να γελάσουμε, όπως γράφεις. Γιατί δεν έχουν καμία σχέση με τα μαθηματικά , αφού όταν μια συνεπαγωγή: είναι αληθής, τότε η q δεν είναι αναγκαίως αληθής. Επίσης, η έκφραση: f(x)=μισό κιλό φέτα, για κάθε x ,δεν έχει νόημα και απέχει πολύ από το να είναι μια πρόταση.
Με εκτίμηση.
Υ.Γ. Αγαπητέ Γιώργο Μπαλόγλου. Εγώ στους μαθητές μου έλεγα: « Όσοι από εσάς γίνεται μαθηματικοί, να φροντίσετε μόνοι σας να διαβάσετε και να μάθετε πολύ καλά τη Μαθηματική Λογική, γιατί στο Πανεπιστήμιο δεν πρόκειται να κάνετε και γιατί τα μαθηματικά θεμελιώνονται , κατανοούνται και αναπτύσσονται με τη βοήθεια της Μαθηματικής Λογικής».

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

Το μήνυμα διαγράφηκε γιατί επαναλάμβανε, για λόγους που αδυνατώ να κατανοήσω, τα λεγόμενα του Αντώνη Κυριακόπουλου στο τελευταίο του μήνυμα.

Κώστας Σερίφης