Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

niva · #81

από Δ2α $f'(x) \neq 0$ και f'(x)

συνεχής, επομένως f' (x)

διατηρεί πρόσημο.

hsiodos · #82

pana1333 έγραψε:Καλησπέρα. Θεωρώ ότι τo Δ2 έχει πρόβλημα αφού όσον αφορά τη λύση που έχω δει έως τώρα, Αφού η ${f}'\left( x \right)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ και η είναι συνεχής από την υπόθεση προκύπτει ότι η θα διατηρεί το πρόσημό της στο
είναι σαν δεχόμαστε ότι ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της Σελ 262 το γ), κάτι που νομίζω δεν ισχύει.

Επίσης έχω ένσταση στη λύση, δεν μπορούμε να πούμε ${f}'\left( x \right)\ne 0$ διότι στο α) ουσιαστικά βρήκαμε ότι ${f}'\left( 0 \right)\ne 0$

Επίσης αν ισχύει αν $f'(x)\neq$ 0 τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατα και όχι αν η δεν παρουσιάζει ακρότατα τότε $f'(x)\neq$ 0....ειναι σαν να λέμε κάθε συνεχής είναι και παραγωγίσιμη άρα αν δεν είναι συνεχής δεν θα είναι παραγωγίσιμη και όχι αν δεν είναι παραγωγίσιμη δεν θα είναι και συνεχής! Ποια η γνώμη σας; Είναι κάτι που δε βλέπω;

Χρήστο

προηγουμένως η παραδοχή ότι υπάρχει $\displaystyle{{x_o} \in R\,\,\,\mu \varepsilon \,\,{f{'}}\left( {{x_o}} \right) = 0}$ οδηγεί σε άτοπο.

Επομένως η παράγωγος δεν μηδενίζεται και αφού είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) θα διατηρεί πρόσημο. Δεν βλέπω που υπάρχει πρόβλημα ή που εφαρμόζεται αντίστροφο που δεν ισχύει;

Πρόβλημα υπάρχει όντως στην εξής διατύπωση λύσης που έχω δει: " Επειδή η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα η παράγωγος της δεν μηδενίζεται.'' Αυτό είναι πράγματι θεωρητικά εσφαλμένο.

#83

Εναλλακτικός τρόπος για το Γ4

Θα δείξουμε ότι η x=0

είναι μοναδική λύση της εξίσωσης.

Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα, ότι υπάρxει x_0>0

) καθώς επίσης $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3$ και x_0<x_0+3

είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και 1-1

είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και 1-1

, κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

pana1333 · #84

hsiodos έγραψε:
pana1333 έγραψε:Καλησπέρα. Θεωρώ ότι τo Δ2 έχει πρόβλημα αφού όσον αφορά τη λύση που έχω δει έως τώρα, Αφού η ${f}'\left( x \right)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ και η είναι συνεχής από την υπόθεση προκύπτει ότι η θα διατηρεί το πρόσημό της στο
είναι σαν δεχόμαστε ότι ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της Σελ 262 το γ), κάτι που νομίζω δεν ισχύει.

Επίσης έχω ένσταση στη λύση, δεν μπορούμε να πούμε ${f}'\left( x \right)\ne 0$ διότι στο α) ουσιαστικά βρήκαμε ότι ${f}'\left( 0 \right)\ne 0$

Επίσης αν ισχύει αν $f'(x)\neq$ 0 τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατα και όχι αν η δεν παρουσιάζει ακρότατα τότε $f'(x)\neq$ 0....ειναι σαν να λέμε κάθε συνεχής είναι και παραγωγίσιμη άρα αν δεν είναι συνεχής δεν θα είναι παραγωγίσιμη και όχι αν δεν είναι παραγωγίσιμη δεν θα είναι και συνεχής! Ποια η γνώμη σας; Είναι κάτι που δε βλέπω;
Χρήστο

προηγουμένως η παραδοχή ότι υπάρχει $\displaystyle{{x_o} \in R\,\,\,\mu \varepsilon \,\,{f{'}}\left( {{x_o}} \right) = 0}$ οδηγεί σε άτοπο.

Επομένως η παράγωγος δεν μηδενίζεται και αφού είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) θα διατηρεί πρόσημο. Δεν βλέπω που υπάρχει πρόβλημα ή που εφαρμόζεται αντίστροφο που δεν ισχύει;

Πρόβλημα υπάρχει όντως στην εξής διατύπωση λύσης που έχω δει: " Επειδή η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα η παράγωγος της δεν μηδενίζεται.'' Αυτό είναι πράγματι θεωρητικά εσφαλμένο.

Καλησπέρα Γιώργο άτοπο άρα ${f{'}}\left( {{x_o}} \right) \neq 0}$ και όχι για κάθε x. Το $x_{0}$ είναι συγκεκριμένο ίσο με μηδέν.

efakop · #85

pana1333 έγραψε:Καλησπέρα. Θεωρώ ότι τo Δ2 έχει πρόβλημα αφού όσον αφορά τη λύση που έχω δει έως τώρα, Αφού η ${f}'\left( x \right)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ και η είναι συνεχής από την υπόθεση προκύπτει ότι η θα διατηρεί το πρόσημό της στο
είναι σαν δεχόμαστε ότι ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της Σελ 262 το γ), κάτι που νομίζω δεν ισχύει.

Επίσης έχω ένσταση στη λύση, δεν μπορούμε να πούμε ${f}'\left( x \right)\ne 0$ διότι στο α) ουσιαστικά βρήκαμε ότι ${f}'\left( 0 \right)\ne 0$

Επίσης αν ισχύει αν $f'(x)\neq$ 0 τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατα και όχι αν η δεν παρουσιάζει ακρότατα τότε $f'(x)\neq$ 0....ειναι σαν να λέμε κάθε συνεχής είναι και παραγωγίσιμη άρα αν δεν είναι συνεχής δεν θα είναι παραγωγίσιμη και όχι αν δεν είναι παραγωγίσιμη δεν θα είναι και συνεχής! Ποια η γνώμη σας; Είναι κάτι που δε βλέπω;

Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει γιατί μπορεί να ισχύει ${f}'\left( x \right)\ge 0$ με την ισότητα να ισχύει για πεπερασμένο πλήθος σημείων. Τότε η συνάρτηση είναι αύξουσα και δεν έχει ακρότατα. Εδώ έχουμε ότι η παράγωγος δεν γίνεται ποτέ ίση με το 0. Άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο αφού είναι συνεχής.

Επίσης η ένστασή σου παραβλέπει ότι επιλέξαμε τυχαίο $x_{0}$ τ.ω. ${f}'\left( x_0 \right) = 0$ και εκεί εφαρμόζουμε fermat και καταλήγουμε σε άτοπο. Δηλαδή οποιοδήποτε σημείο, δηλαδή για κάθε σημείο.

NikosTheodorakis · #86

achilleas έγραψε:
NikosTheodorakis έγραψε:
alexandrosvets έγραψε:Καλησπέρα σε όλους,
Παραθέτω μια αντιμετώπιση στην εύρεση της f,στο Δ θέμα, που ενδεχομένως να είναι λάθος.

Έστω ότι υπάρχει $x_0 : f(x_0) \neq x_0, (1).$

Η ειναι 1-1,άρα από την $(1)\leftrightarrow f(f(x_0)) \neq f(x_0),(2).$

Από τις 1,2 προκύπτει ότι $x_0\neq f(f(x_0)),(3).$

Επίσης απο την (1) και την έχουμε ότι $e^{f(x_0)}\neq e^{x_0},(4).$

Προσθέτοντας τις 3,4 προκυπτει άτοπο απο την εκφώνηση.

Άρα $f(x)=x,x\epsilon \mathbb R$

Μπορείτε να δουλέψετε όπως προτείνετε υποθέτοντας ότι υπάρχει σημείο χο ώστε η f να είναι μεγαλύτερη από το xο και να καταλήξεις σε άτοπο. Ομοίως για μικρότερη καταλήγετε πάλι σε άτοπο. Και προκύπτει ο τύπος της f. Καλή η σκέψη σας, έτσι όπως σας λέω αποδεικνύεται ο τύπος, αν και αυτό είναι περιττό, η άσκηση βγαίνει πολύ πιο εύκολα.
Ούτε έτσι φαίνεται να γίνεται.

Έστω για κάποιο . Τότε και $e^{f(x)}>e^x$ .

Επίσης, $e^{f(x)}+x=f(f(x))+e^x$ .

Οι σχέσεις αυτές δε δίνουν άτοπο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Συμφωνώ, πάνω στη βιασύνη νόμιζα ότι βγαίνει η σχέση της εκφώνησης. Άρα δεν βρίσκεται έτσι ο τύπος.

NikosTheodorakis · #87

pana1333 έγραψε:Καλησπέρα. Θεωρώ ότι τo Δ2 έχει πρόβλημα αφού όσον αφορά τη λύση που έχω δει έως τώρα, Αφού η ${f}'\left( x \right)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ και η είναι συνεχής από την υπόθεση προκύπτει ότι η θα διατηρεί το πρόσημό της στο
είναι σαν δεχόμαστε ότι ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της Σελ 262 το γ), κάτι που νομίζω δεν ισχύει.

Επίσης έχω ένσταση στη λύση, δεν μπορούμε να πούμε ${f}'\left( x \right)\ne 0$ διότι στο α) ουσιαστικά βρήκαμε ότι ${f}'\left( 0 \right)\ne 0$

Επίσης αν ισχύει αν $f'(x)\neq$ 0 τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατα και όχι αν η δεν παρουσιάζει ακρότατα τότε $f'(x)\neq$ 0....ειναι σαν να λέμε κάθε συνεχής είναι και παραγωγίσιμη άρα αν δεν είναι συνεχής δεν θα είναι παραγωγίσιμη και όχι αν δεν είναι παραγωγίσιμη δεν θα είναι και συνεχής! Ποια η γνώμη σας; Είναι κάτι που δε βλέπω;

Αν μια συνάρτηση δεν παρουσιάζει ακρότατο υπάρχει περίπτωση η παράγωγός της να μηδενίζεται συμφωνώ. Δείτε την xˆ3 της οποίας η παράγωγος μηδενίζεται στο 0, στο οποίο η συνάρτηση δεν παρουσιάζει ακρότατο.

hsiodos · #88

pana1333 έγραψε:
hsiodos έγραψε:
pana1333 έγραψε:Καλησπέρα. Θεωρώ ότι τo Δ2 έχει πρόβλημα αφού όσον αφορά τη λύση που έχω δει έως τώρα, Αφού η ${f}'\left( x \right)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ και η είναι συνεχής από την υπόθεση προκύπτει ότι η θα διατηρεί το πρόσημό της στο
είναι σαν δεχόμαστε ότι ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της Σελ 262 το γ), κάτι που νομίζω δεν ισχύει.

Επίσης έχω ένσταση στη λύση, δεν μπορούμε να πούμε ${f}'\left( x \right)\ne 0$ διότι στο α) ουσιαστικά βρήκαμε ότι ${f}'\left( 0 \right)\ne 0$

Επίσης αν ισχύει αν $f'(x)\neq$ 0 τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατα και όχι αν η δεν παρουσιάζει ακρότατα τότε $f'(x)\neq$ 0....ειναι σαν να λέμε κάθε συνεχής είναι και παραγωγίσιμη άρα αν δεν είναι συνεχής δεν θα είναι παραγωγίσιμη και όχι αν δεν είναι παραγωγίσιμη δεν θα είναι και συνεχής! Ποια η γνώμη σας; Είναι κάτι που δε βλέπω;
Χρήστο

προηγουμένως η παραδοχή ότι υπάρχει $\displaystyle{{x_o} \in R\,\,\,\mu \varepsilon \,\,{f{'}}\left( {{x_o}} \right) = 0}$ οδηγεί σε άτοπο.

Επομένως η παράγωγος δεν μηδενίζεται και αφού είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) θα διατηρεί πρόσημο. Δεν βλέπω που υπάρχει πρόβλημα ή που εφαρμόζεται αντίστροφο που δεν ισχύει;

Πρόβλημα υπάρχει όντως στην εξής διατύπωση λύσης που έχω δει: " Επειδή η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα η παράγωγος της δεν μηδενίζεται.'' Αυτό είναι πράγματι θεωρητικά εσφαλμένο.
Καλησπέρα Γιώργο άτοπο άρα ${f{'}}\left( {{x_o}} \right) \neq 0}$ και όχι για κάθε x. Το $x_{0}$ είναι συγκεκριμένο ίσο με μηδέν.

Χρήστο

για τυχαίο $\displaystyle{{x_o} \in R}$ η παραδοχή ότι $\displaystyle{{f{'}}\left( {{x_o}} \right) = 0}$ οδηγεί σε άτοπο. Δεν καταλαβαίνω που βλέπεις πρόβλημα.

NikosTheodorakis · #89

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Energy Engineer έγραψε:
NikosTheodorakis έγραψε: Υπάρχει η εξής πρόταση η οποία ΔΕΝ αναφέρεται όμως στο σχολικό βιβλίο:
"Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν έχει ακρότατο σε εσωτερικό σημείο του Δ θα είναι γνησίως μονότονη στο Δ."
Για ποιο λόγο το να είναι συνεχής στο διάστημα Δ είναι απαραίτητο;
Όχι μόνο αυτό , αλλά τέτοια πρόταση δεν υπάρχει ούτε στο σχολικό βιβλίο ούτε αλλού, διότι είναι λανθασμένη . Μια συνεχής συνάρτηση μπορεί να είναι και σταθερή σε κάποιο υποδιάστημα του πεδίου ορισμού της.

Έχει λοιπόν σε άπειρα εσωτερικά σημεία τοπικά ακρότατα, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη.

Ίσως κάτι άλλο να είχε στο νου του ο συντάκτης.Ίσως να την φαντάζονταν επιπλέον και ως . Αν δεν είχε γίνει ήδη παράθεση, θα έγραφα στον συντάκτη να αλλάξει το μύνημά του.Η παρέμβασή μου είναι τελείως φιλική και παρακαλώ μόνο έτσι να εκληφθεί .

Μπ

Συμφωνώ κύριε Στεργίου, όταν το διατύπωσα σκεφτόμουν ότι η συνάρτηση είναι και 1-1. Αλλιώς όπως είπατε τέτοιο θεώρημα δεν υφίσταται.

apotin · #90

Θέματα χωρίς "υπαρξιακά" προβλήματα

#91

pana1333 έγραψε:Καλησπέρα. Θεωρώ ότι τo Δ2 έχει πρόβλημα αφού όσον αφορά τη λύση που έχω δει έως τώρα, Αφού η ${f}'\left( x \right)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ και η είναι συνεχής από την υπόθεση προκύπτει ότι η θα διατηρεί το πρόσημό της στο
είναι σαν δεχόμαστε ότι ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της Σελ 262 το γ), κάτι που νομίζω δεν ισχύει.

Επίσης έχω ένσταση στη λύση, δεν μπορούμε να πούμε ${f}'\left( x \right)\ne 0$ διότι στο α) ουσιαστικά βρήκαμε ότι ${f}'\left( 0 \right)\ne 0$

Επίσης αν ισχύει αν $f'(x)\neq$ 0 τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατα και όχι αν η δεν παρουσιάζει ακρότατα τότε $f'(x)\neq$ 0....ειναι σαν να λέμε κάθε συνεχής είναι και παραγωγίσιμη άρα αν δεν είναι συνεχής δεν θα είναι παραγωγίσιμη και όχι αν δεν είναι παραγωγίσιμη δεν θα είναι και συνεχής! Ποια η γνώμη σας; Είναι κάτι που δε βλέπω;

Δεν έχει κανένα πρόβλημα.

hsiodos έγραψε:...
Χρήστο

προηγουμένως η παραδοχή ότι υπάρχει $\displaystyle{{x_o} \in R\,\,\,\mu \varepsilon \,\,{f{'}}\left( {{x_o}} \right) = 0}$ οδηγεί σε άτοπο.

Επομένως η παράγωγος δεν μηδενίζεται και αφού είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) θα διατηρεί πρόσημο. Δεν βλέπω που υπάρχει πρόβλημα ή που εφαρμόζεται αντίστροφο που δεν ισχύει;

Πρόβλημα υπάρχει όντως στην εξής διατύπωση λύσης που έχω δει: " Επειδή η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα η παράγωγος της δεν μηδενίζεται.'' Αυτό είναι πράγματι θεωρητικά εσφαλμένο.

Συμφωνώ με το Γιώργο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

pana1333 · #92

Ok κατάλαβα που την πάτησα. Παρερμήνευσα διότι νόμιζα ότι θεωρούμε ότι αφού η f δεν έχει ακρότατα τότε $f'(x)\neq 0$ ενώ αυτό βγαίνει από απαγωγή σε άτοπο. Ευχαριστώ

g78di · #93

NikosTheodorakis έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Energy Engineer έγραψε:
NikosTheodorakis έγραψε: Υπάρχει η εξής πρόταση η οποία ΔΕΝ αναφέρεται όμως στο σχολικό βιβλίο:
"Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν έχει ακρότατο σε εσωτερικό σημείο του Δ θα είναι γνησίως μονότονη στο Δ."
Για ποιο λόγο το να είναι συνεχής στο διάστημα Δ είναι απαραίτητο;
Όχι μόνο αυτό , αλλά τέτοια πρόταση δεν υπάρχει ούτε στο σχολικό βιβλίο ούτε αλλού, διότι είναι λανθασμένη . Μια συνεχής συνάρτηση μπορεί να είναι και σταθερή σε κάποιο υποδιάστημα του πεδίου ορισμού της.

Έχει λοιπόν σε άπειρα εσωτερικά σημεία τοπικά ακρότατα, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη.

Ίσως κάτι άλλο να είχε στο νου του ο συντάκτης.Ίσως να την φαντάζονταν επιπλέον και ως . Αν δεν είχε γίνει ήδη παράθεση, θα έγραφα στον συντάκτη να αλλάξει το μύνημά του.Η παρέμβασή μου είναι τελείως φιλική και παρακαλώ μόνο έτσι να εκληφθεί .

Μπ
Συμφωνώ κύριε Στεργίου, όταν το διατύπωσα σκεφτόμουν ότι η συνάρτηση είναι και 1-1. Αλλιώς όπως είπατε τέτοιο θεώρημα δεν υφίσταται.

Αν όμως η συνάρτηση δεν έχει ακρότητα;Αν ειναι σταθερή έχει άπειρα όπως είπατε .
Ισχυρισμός 29 εδώ:http://www.mathher.gr/s/attachments/126 ... 010-11.pdf

nnod · #94

Ένας μαθητής θεώρησε ότι στο Δ2 ζητείται να αποδειχθεί ότι η f δεν έχει ολικά ακρότατα και χρησιμοποίησε το σύνολο τιμών της!Ποια είναι η άποψη σας;

#95

nnod έγραψε:Ένας μαθητής θεώρησε ότι στο Δ2 ζητείται να αποδειχθεί ότι η f δεν έχει ολικά ακρότατα και χρησιμοποίησε το σύνολο τιμών της!Ποια είναι η άποψη σας;

χμ... εδώ θα σταθούμε λίγο περισσότερο γιατί είναι καλή παρατήρηση... Εξαρτάται από τον τρόπο ορισμού του ακροτάτου που δίνεται από το βιβλίο και τις υπόλοιπες επίσημες πηγές του υπουργείου. Τροφή για αναζήτηση...

(Να αναφέρω ότι το θέμα αυτό μου το έκανε γνωστό ο Θάνος Μάγκος σε τηλεφωνική επικοινωνία που είχαμε το μεσημέρι. Θα μας πει εκείνος περισσότερα... )

Κοτσόβολης Γιώργος · #96

Καλησπέρα.Πιστεύω πως το σύνολο τιμών στο Δ ερώτημα δεν χρειαζόταν.
Πιο αναλυτικά για x>0

,

άρα $e^{f(x)}>e^{x}-x\geq \frac{x^{2}}{2}+1$ από όπου εύκολα παίρνουμε το όριο στο άπειρο.

#97

Κοτσόβολης Γιώργος έγραψε:Καλησπέρα.Πιστεύω πως το σύνολο τιμών στο Δ ερώτημα δεν χρειαζόταν.
Πιο αναλυτικά για , άρα $e^{f(x)}>e^{x}-x\geq \frac{x^{2}}{2}+1$ από όπου εύκολα παίρνουμε το όριο στο άπειρο.

Γιώργο πράγματι. Είναι κάτι που είχαμε στο μυαλό μας να σημειώσουμε στις επίσημες λύσεις που θα βγάλουμε.

#98

nnod έγραψε:Ένας μαθητής θεώρησε ότι στο Δ2 ζητείται να αποδειχθεί ότι η f δεν έχει ολικά ακρότατα και χρησιμοποίησε το σύνολο τιμών της!Ποια είναι η άποψη σας;

Το παρατήρησα από το πρωί αυτό! Στο διαδραστικό βιβλίο του ψηφιακού σχολείου γράφει:

: extrema.png (41.93 KiB) Προβλήθηκε 3669 φορές

Αν κανείς λοιπόν επικαλεστεί αυτόν τον ορισμό, το ερώτημα είναι τετριμμένο, αφού $\displaystyle{f(\mathbb{R})=\mathbb{R}.}$

MarKo · #99

Ξέρουμε την ενδεικτική λύση που δόθηκε από την επιτροπή για την εξέταση των ΦΑ , στο Δ3

ως προς την δικαιολόγηση για το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty }$ ;

alcamus06 · #100

Δεν νομίζω πως κάποιος θα φανταζόνταν τέτοια δομή θεμάτων.
Σχεδόν σε όλα τα θέματα προσομοίωσης κλπ που κυκλοφόρησαν στο 3ο θέμα και στο 4ο έδιναν την συνάρτηση από το
1ο ή το 2ο ερώτημα....
Δεν γίνεται να δουλέψουν οι μαθητές 10 μονάδες στο 3ο και 4ο θέμα χωρίς να έχουν την συνάρτηση.
Δεν έχουν μάθει τέτοια θέματα.Πολλά παιδιά έχασαν χρόνο ψάχνοντας στο 4ο θέμα να υπολογίσουν την f. Κακώς μεν αλλά αυτά
εξετάσαμε.Αν θέμα 3ο είχε μια συνάρτηση και 4ο όπως ήταν θα ξεχώριζε το 16-17 - 18 -19 και 20 .Σήμερα τι ξεχώρισαν ;

Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Μέλη σε σύνδεση