Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

chrislg · #61

erxmer έγραψε:
MarKo έγραψε:Το 3 και 4 θέμα ήταν υψηλού βαθμού δυσκολίας.
Ειλικρινά τι περιμένουν από 18χρονα παιδιά;
Έχω την αίσθηση ότι οι επιτροπές δεν γνωρίζουν το επίπεδο μέσα στις σχολικές τάξεις, όπως χθες στην φυσική.
Τα θέματα ήταν για μια μικρή ομάδα ταλαντούχων μαθητών.

Προφανώς θέλουν να μπουν στα πανεπιστήμια ταλαντούχοι και μελετηροί μαθητές.

Μάριος.
στην Φυσική κατεύθυνσης ακυρώση θεμάτων (Δ4),

το Γ4 εννοείτε ...

#62

Μια άλλη προσέγγιση για το Β2
Έστω $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ οι εικόνες των $\displaystyle{{z_1},{z_2},}$ αντίστοιχα
Τότε $\displaystyle{\left| {{z_1}} \right. - {z_2}| = |\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} | = \sqrt 2 ,}$ , ενώ το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm O}{\rm A}{\rm B}}$ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο και $\displaystyle{|\overrightarrow {{\rm O}\Gamma } | = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$
Τότε
$\displaystyle{\left| {{z_1}} \right. + {z_2}| = |\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} + \overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} | = 2|\overrightarrow {{\rm O}\Gamma } | = 2\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 }$

parmenides51 · #63

Δελτίο τύπου της ΕΜΕ

από εδώ

#64

Καλησπέρα.
Θα ήταν πολύ όμορφο, από τον επόμενο χρόνο με κάποιον τρόπο να εισαχθεί στην ύλη επίσημα
πλέον αυτή η παράγραφος που λέγεται "Διαφορικές εξισώσεις".
Όλο και ξεφυτρώνει,είναι κρίμα...
Είναι "κρυφό μυστικό"!

cristsuk · #65

Τα σημερινά θέματα και σε Word.

perpant · #66

Επειδή για κάποιο λόγο δεν μπορώ να μπω στη σελίδα της ΕΜΕ, τι σχόλια έγιναν;

#67

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Στο Δ1 μπορούμε να εργαστούμε και χωρίς Fermat.
Η δεύτερη δοθείσα ισχύει για κάθε θετικό, άρα και για $\displaystyle{x=\frac{1}{2}}$ . Έτσι μετά από λίγες πράξεις βγάζουμε ότι $\displaystyle{\int_{\frac{3}{4}}^{1}{f(t)dt}<0}$ . Όμως η συνεχής και μη μηδενιζόμενη στους θετικούς, άρα διατηρεί πρόσημο εκεί. Αν ήταν θετική στους θετικούς πραγματικούς, τότε θα ήταν και στο διάστημα $\displaystyle{[\frac{3}{4}.1]}$ και επομένως θα ικανοποιούσε εκεί την ιδιότητα "μη αρνητική και όχι παντού μηδέν". Έτσι από το γνωστό θεώρημα θα είχαμε $\displaystyle{\int_{\frac{3}{4}}^{1}{f(t)dt}>0}$ , άτοπο.
Άρα η αρνητική...

Η πιο κομψή προσέγγιση. Μπράβο Αντώνη

Christos.N · #68

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα.
Θα ήταν πολύ όμορφο, από τον επόμενο χρόνο με κάποιον τρόπο να εισαχθεί στην ύλη επίσημα
πλέον αυτή η παράγραφος που λέγεται "Διαφορικές εξισώσεις".
Όλο και ξεφυτρώνει,είναι κρίμα...
Είναι "κρυφό μυστικό"!

με βρίσκεις απόλυτα σύμφωνο.

knkn · #69

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Και του χρόνου συνάδελφοι !!!
Να μαστε όλοι καλά για να λύσουμε και τα επόμενα ! Το μόνο ίσως που ξεφεύγει καμιά φορά είναι ότι πρέπει να τα λύσουν και οι μαθητές μας , για να ολοκληρωθεί η χαρά , μια και τα θέματα μόνο σε αυτούς απευθύνονται !
Κι αυτοί είναι πάντα 18 χρονών !
Κάθε κριτική για τα θέματα πρέπει να παίρνει πολλά πράγματα υπόψιν .Αυτή ας μείνει για αργότερα, όταν θα καταλαγιάσει η πρώτη εντύπωση.
Καλά αποτελέσματα στους μαθητές σας αλλά και σε όλα τα μέλη του mathematica !
Μπάμπης

Το τέταρτο θα μπορούσαν να το βάλουν και σε διαγωνισμό του Α.Σ.Ε.Π. , έτσι ;
Δύσκολα θέματα για τους μαθητές , αλλά τι πειράζει ;
Όσο δύσκολα και να είναι , ο ίδιος αριθμός παιδιών θα μπει στις σχολές . Άρα τι πειράζει που είναι δύσκολα ; Τo βασικό είναι να υπάρχει αρκετά καλή κλιμάκωση δυσκολίας . Αν υπάρχει κλιμάκωση , δεν βλέπω γιατί πειράζει να υπάρχουν και αρκετά δύσκολα ερωτήματα . Κάθε χρόνο άλλωστε , υπάρχουν άριστα γραπτά παρά την αυξημένη δυσκολία . Γιατί λοιπόν να μπουν εύκολα και να εξισωθούν οι καλοί με τους άριστους ; Προβληματισμούς διατυπώνω βέβαια , μπορεί να κάνω και λάθος .
Να είμαστε καλά να λύνουμε πρωτότυπα και ωραία θέματα κάθε χρόνο .

diomides · #70

knkn έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Και του χρόνου συνάδελφοι !!!
Να μαστε όλοι καλά για να λύσουμε και τα επόμενα ! Το μόνο ίσως που ξεφεύγει καμιά φορά είναι ότι πρέπει να τα λύσουν και οι μαθητές μας , για να ολοκληρωθεί η χαρά , μια και τα θέματα μόνο σε αυτούς απευθύνονται !
Κι αυτοί είναι πάντα 18 χρονών !
Κάθε κριτική για τα θέματα πρέπει να παίρνει πολλά πράγματα υπόψιν .Αυτή ας μείνει για αργότερα, όταν θα καταλαγιάσει η πρώτη εντύπωση.
Καλά αποτελέσματα στους μαθητές σας αλλά και σε όλα τα μέλη του mathematica !
Μπάμπης
Το τέταρτο θα μπορούσαν να το βάλουν και σε διαγωνισμό του Α.Σ.Ε.Π. , έτσι ;
Δύσκολα θέματα για τους μαθητές , αλλά τι πειράζει ;
Όσο δύσκολα και να είναι , ο ίδιος αριθμός παιδιών θα μπει στις σχολές . Άρα τι πειράζει που είναι δύσκολα ; Τo βασικό είναι να υπάρχει αρκετά καλή κλιμάκωση δυσκολίας . Αν υπάρχει κλιμάκωση , δεν βλέπω γιατί πειράζει να υπάρχουν και αρκετά δύσκολα ερωτήματα . Κάθε χρόνο άλλωστε , υπάρχουν άριστα γραπτά παρά την αυξημένη δυσκολία . Γιατί λοιπόν να μπουν εύκολα και να εξισωθούν οι καλοί με τους άριστους ; Προβληματισμούς διατυπώνω βέβαια , μπορεί να κάνω και λάθος .
Να είμαστε καλά να λύνουμε πρωτότυπα και ωραία θέματα κάθε χρόνο .

νομίζω ότι είναι λίγο υπερβολικό να λέγεται αυτό.

mathxl · #71

Μία άλλη προσέγγιση για το Β2 με εγγεγραμμένο τετράγωνο.
Είναι $\displaystyle{\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1 \cdot \sqrt 2 = R\sqrt 2 }$ άρα $\displaystyle{\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2{a_4} = 2 \cdot \frac{{R\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 }$

Μπορούμε να πούμε και ότι η διάμεσος είναι το μισότης της υποτείνουσας άρα...κτλ

S.E.Louridas · #72

Για λόγους πλουραλισμού και μόνο, μία προσέγγιση χωρίς Fermat, για το $\Delta_1$ .
Όπως ειπώθηκε η

διατηρεί πρόσημο.
Αν $x > 0\; \wedge \;\left( {x - x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2 - x + 1 < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 1} \right) \Leftrightarrow 0 < x < 1$
Τότε παίρνουμε:
$- \int\limits_{x^2 - x + 1}^1 {f\left( t \right)} dt \geqslant \frac{{x - x^2 }} {e} > 0.$
Αν f(t)>0

έχουμε

, άτοπο.

(*) Απλά να συμπληρώσω ότι αναφέρθηκα στην προσημότητα, αφού είναι το "σημείο αιχμής" της λύσης καθότι έτσι φεύγει το σύμβολο του απολύτου και επομένως απελευθερώνεται η προβλέψιμης λύσης διαφορική.

pastavr · #73

Μια ωραία λύση για το Β2 χωρίς λόγια στο συνημμένο

freyia · #74

Πολλές φορές τα θέματα είναι τόσα πολλά που ακόμα και οι καλοί μαθητές αδυνατούνέ να προλάβουνε να δώσουν πλήρεις απαντήσεις. Νομίζω ότι αυτό έγινε και φέτος. Επί τέλους να καταλάβουν όσοι εμπλέκονται με τα θέματα, ότι

ΟΥΚ ΕΝ ΤΟ ΠΟΛΛΩ ΤΟ ΕΥ (νομίζω έτσι γράφεται

)

Δημήτρης Μοσχόπουλος · #75

Τα θέματα ήταν "φυσιολογικά", με κλιμακούμενη δυσκολία, όπως αυτή υπήρχε μέχρι προ 3 ή 4 ετών, δηλαδή πολλοί μπορούν να γράψουν (και να περάσουν) το 10, ενώ δεν παρουσιάζονται ιδιαίτερες δυσκολίες για να φτάσει κανείς και στο 15 (αλλά και να το ξεπεράσει χωρίς πολλή και απαιτητική προσπάθεια).

Πολλά δεν θα έλεγα ότι ήταν. Το 2011 και το 2010 ήταν περισσότερα (το 2011 είχαν ΚΑΙ αρκετό γράψιμο ΚΑΙ αξιοσημείωτη δυσκολία, ενώ το 2010 είχαν κατά 95% αρκετό γράψιμο, αλλά όχι ιδιαίτερη δυσκολία).

ΘΕΜΑ Β.
Κλασικά, θέμα μιγαδικών με γεωμετρικούς τόπους και μέγιστη-ελάχιστη τιμή μέτρου. Ποιος δεν έχει κάνει τέτοια θέματα; "Όμορφη" έκπληξη η εμφάνιση της έλλειψης, η οποία, παρ' ότι δεν συναντήθηκε όσες φορές και ο κύκλος κατά την προετοιμασία των μαθητών μας μέσα στην χρονιά, εντούτοις δεν παρουσίαζε τίποτα "ύποπτο" ή "ύπουλο".

Β1. Μηδενική δυσκολία.

Β2. Κλασικό πρόβλημα χρήσης της ιδιότητας "μέτρο στο τετράγωνο". Ελάχιστη δυσκολία. Ωραία η γεωμετρική λύση που επίσης μπορούσε να δοθεί, αλλά αρκετά ευφάνταστη για έναν μαθητή. Σαφώς και θα υποστήριζα την λύση αυτή, όμως θεωρώ "φυσιολογικότερη" σκέψη να υψωθούν τα μέλη στο τετράγωνο και να συνεχίσει κανείς με τα κλασικά βήματα που έμαθε σε ίδια θέματα.

Β3. "Ψαρωτική" η έλλειψη, το θέμα ήταν πολύ εύκολο και με κλασικά βήματα για την επίλυσή του. Είτε θέτοντας w = x + yi εξ αρχής (προτεινόμενο) είτε δουλεύοντας με τετράγωνα (περισσότερες και περιττές πράξεις), δεν υπήρχαν εκπλήξεις.
Ως προς την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή του |w|, ένα απλό σχήμα και με την μία έβρισκε κανείς τις ζητούμενες τιμές του.

B4. Έχεις βρει δύο γεωμετρικούς τόπους και πιστεύεις ότι δεν θα "συνεργαστούν" σ' ένα ερώτημα; Έλα τώρα… Καμία έκπληξη και σ' αυτό κατ' εμέ. "Όμορφο" και "πονηρούτσικο" θέμα, το οποίο όμως λύνονταν μέσω του σχήματος (η λύση με την χρήση της τριγωνική ανισότητας, παρ' ότι -φυσικά- δεκτή, την κρίνω ως "προχωρημένη" και κάπως "επικίνδυνη").

ΘΕΜΑ Γ.

Κλασικό πρόβλημα σε μονοτονία-εξισώσεις (και ολίγον εμβαδόν). Ποιος δεν έχει κάνει τέτοια θέματα; Δεν νομίζω να υπάρχει κανείς...

Γ1. Ελάχιστη δυσκολία, από τα πλέον κλασικά ζητούμενα στον Διαφορικό Λογισμό. Αν δεν μπορείς να βρεις την μονοτονία και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης…

Γ2. Ερώτημα-πάσα από το Γ1. Βρήκες την μονοτονία και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης, έχεις τον τύπο της, εκπλήσσεσαι που αυτή θα εμπλακεί σε μία εξίσωση; Επίσης κλασικό ερώτημα, καμία έκπληξη.

Γ3. Κι άλλο κλασικό ερώτημα, από το θέωρημα του Rolle αυτή την φορά ("φωνάζει" για Rolle, έχει f '(x)!).

Γ4. Απλό, βατό πρόβλημα εμβαδού. Ελάχιστη (έως μηδενική) δυσκολία, ακόμη και στον υπολογισμό του ολοκληρώματος.

ΘΕΜΑ Δ.

Δ1. Ζόρικο αρκετά! Απαιτητικό και με κάμποσα "σλάλομ" αιτιολογήσεων. Το ερώτημα που μάλλον αποθάρρυνε πολλά παιδιά στην συνέχεια (αν και δεν θα 'πρεπε, αφού μπορούσαν να το προσπεράσουν -μια και δίνονταν ο τύπος της f(x) στην συνέχεια- και να πάνε στα επόμενα).

Δ2. Ωραίο θέμα ορίων, το οποίο "φωνάζει" για την αντικατάσταση f(x) = y. Από κει και πέρα, τα πράγματα παίρνουν τον δρόμο τους. Μέτριας δυσκολίας θα το χαρακτήριζα.

Δ3. "Να δείξετε ότι είναι κυρτή": χρειαζόταν την βοήθεια του Δ1. Δεν έκανες το Δ1; Χμμμ, έχουμε πρόβλημα… Το έκανες; Η κυρτότητα βγήκε με την μία!
Απόδειξη ανίσωσης: για τον καλά προετοιμασμένο, τα x, 2x, 3x "φώναζαν" ΘΜΤ (δημιουργία των σχετικών διαστημάτων). Αλλιώς… σκούρα τα πράγματα.

Δ4. Κι αυτό "φωνάζει" για Bolzano, αλλά έχει και τις απαιτήσεις του. Σεβαστής δυσκολίας, αλλά όχι τίποτα εξωπραγματικό.

Αυτή είναι η εκτίμησή μου για τα θέματα. Δεν έχω να προσάψω τίποτα κακό στους θεματοδότες, τουναντίον θα έλεγα ότι τα θέματα βοηθούν τους περισσότερους να κάνουν μια αξιοπρεπή εμφάνιση στον στίβο. Εκτιμώ ότι η κλίμακα της βαθμολογίας θα έχει "κατοίκους" σε όλο της το φάσμα, ιδιαίτερα στις "μέσες" βαθμολογίες. Είμαι σίγουρος ότι όλοι οι συνάδελφοι δίδαξαν τέτοια θέματα, τα οποία χαρακτηρίζονται "κλασικά". Είμαι σίγουρος ότι όλοι οι υποψήφιοι διδάχθηκαν τέτοια θέματα. Η ψυχραιμία ήταν το κλειδί που θα ξεκλείδωνε τις λύσεις. Ακόμη και με "ανεμομαζώματα" (κάνω ό,τι μπορώ, απ' όπου μπορώ και απλά μαζεύω μονάδες), μπορούσε κάποιος να φτάσει σ' έναν αξιοπρεπή βαθμό.

plat_man · #76

Επίσης απουσία συνδυαστικού θέματος μιγαδικών με ανάλυση για μια ακόμη χρονιά.

Δημήτρης Μοσχόπουλος · #77

plat_man έγραψε:Επίσης απουσία συνδυαστικού θέματος μιγαδικών με ανάλυση για μια ακόμη χρονιά.

Ίσως την επόμενη χρονιά. Το βλέπω πιθανό.

diomides · #78

Δημήτρης Μοσχόπουλος έγραψε:Τα θέματα ήταν "φυσιολογικά", με κλιμακούμενη δυσκολία, όπως αυτή υπήρχε μέχρι προ 3 ή 4 ετών, δηλαδή πολλοί μπορούν να γράψουν (και να περάσουν) το 10, ενώ δεν παρουσιάζονται ιδιαίτερες δυσκολίες για να φτάσει κανείς και στο 15 (αλλά και να το ξεπεράσει χωρίς πολλή και απαιτητική προσπάθεια).

Πολλά δεν θα έλεγα ότι ήταν. Το 2011 και το 2010 ήταν περισσότερα (το 2011 είχαν ΚΑΙ αρκετό γράψιμο ΚΑΙ αξιοσημείωτη δυσκολία, ενώ το 2010 είχαν κατά 95% αρκετό γράψιμο, αλλά όχι ιδιαίτερη δυσκολία).

ΘΕΜΑ Β.
Κλασικά, θέμα μιγαδικών με γεωμετρικούς τόπους και μέγιστη-ελάχιστη τιμή μέτρου. Ποιος δεν έχει κάνει τέτοια θέματα; "Όμορφη" έκπληξη η εμφάνιση της έλλειψης, η οποία, παρ' ότι δεν συναντήθηκε όσες φορές και ο κύκλος κατά την προετοιμασία των μαθητών μας μέσα στην χρονιά, εντούτοις δεν παρουσίαζε τίποτα "ύποπτο" ή "ύπουλο".

Β1. Μηδενική δυσκολία.

Β2. Κλασικό πρόβλημα χρήσης της ιδιότητας "μέτρο στο τετράγωνο". Ελάχιστη δυσκολία. Ωραία η γεωμετρική λύση που επίσης μπορούσε να δοθεί, αλλά αρκετά ευφάνταστη για έναν μαθητή. Σαφώς και θα υποστήριζα την λύση αυτή, όμως θεωρώ "φυσιολογικότερη" σκέψη να υψωθούν τα μέλη στο τετράγωνο και να συνεχίσει κανείς με τα κλασικά βήματα που έμαθε σε ίδια θέματα.

Β3. "Ψαρωτική" η έλλειψη, το θέμα ήταν πολύ εύκολο και με κλασικά βήματα για την επίλυσή του. Είτε θέτοντας w = x + yi εξ αρχής (προτεινόμενο) είτε δουλεύοντας με τετράγωνα (περισσότερες και περιττές πράξεις), δεν υπήρχαν εκπλήξεις.
Ως προς την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή του |w|, ένα απλό σχήμα και με την μία έβρισκε κανείς τις ζητούμενες τιμές του.

B4. Έχεις βρει δύο γεωμετρικούς τόπους και πιστεύεις ότι δεν θα "συνεργαστούν" σ' ένα ερώτημα; Έλα τώρα… Καμία έκπληξη και σ' αυτό κατ' εμέ. "Όμορφο" και "πονηρούτσικο" θέμα, το οποίο όμως λύνονταν μέσω του σχήματος (η λύση με την χρήση της τριγωνική ανισότητας, παρ' ότι -φυσικά- δεκτή, την κρίνω ως "προχωρημένη" και κάπως "επικίνδυνη").

ΘΕΜΑ Γ.

Κλασικό πρόβλημα σε μονοτονία-εξισώσεις (και ολίγον εμβαδόν). Ποιος δεν έχει κάνει τέτοια θέματα; Δεν νομίζω να υπάρχει κανείς...

Γ1. Ελάχιστη δυσκολία, από τα πλέον κλασικά ζητούμενα στον Διαφορικό Λογισμό. Αν δεν μπορείς να βρεις την μονοτονία και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης…

Γ2. Ερώτημα-πάσα από το Γ1. Βρήκες την μονοτονία και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης, έχεις τον τύπο της, εκπλήσσεσαι που αυτή θα εμπλακεί σε μία εξίσωση; Επίσης κλασικό ερώτημα, καμία έκπληξη.

Γ3. Κι άλλο κλασικό ερώτημα, από το θέωρημα του Rolle αυτή την φορά ("φωνάζει" για Rolle, έχει f '(x)!).

Γ4. Απλό, βατό πρόβλημα εμβαδού. Ελάχιστη (έως μηδενική) δυσκολία, ακόμη και στον υπολογισμό του ολοκληρώματος.

ΘΕΜΑ Δ.

Δ1. Ζόρικο αρκετά! Απαιτητικό και με κάμποσα "σλάλομ" αιτιολογήσεων. Το ερώτημα που μάλλον αποθάρρυνε πολλά παιδιά στην συνέχεια (αν και δεν θα 'πρεπε, αφού μπορούσαν να το προσπεράσουν -μια και δίνονταν ο τύπος της f(x) στην συνέχεια- και να πάνε στα επόμενα).

Δ2. Ωραίο θέμα ορίων, το οποίο "φωνάζει" για την αντικατάσταση f(x) = y. Από κει και πέρα, τα πράγματα παίρνουν τον δρόμο τους. Μέτριας δυσκολίας θα το χαρακτήριζα.

Δ3. "Να δείξετε ότι είναι κυρτή": χρειαζόταν την βοήθεια του Δ1. Δεν έκανες το Δ1; Χμμμ, έχουμε πρόβλημα… Το έκανες; Η κυρτότητα βγήκε με την μία!
Απόδειξη ανίσωσης: για τον καλά προετοιμασμένο, τα x, 2x, 3x "φώναζαν" ΘΜΤ (δημιουργία των σχετικών διαστημάτων). Αλλιώς… σκούρα τα πράγματα.

Δ4. Κι αυτό "φωνάζει" για Bolzano, αλλά έχει και τις απαιτήσεις του. Σεβαστής δυσκολίας, αλλά όχι τίποτα εξωπραγματικό.

Αυτή είναι η εκτίμησή μου για τα θέματα. Δεν έχω να προσάψω τίποτα κακό στους θεματοδότες, τουναντίον θα έλεγα ότι τα θέματα βοηθούν τους περισσότερους να κάνουν μια αξιοπρεπή εμφάνιση στον στίβο. Εκτιμώ ότι η κλίμακα της βαθμολογίας θα έχει "κατοίκους" σε όλο της το φάσμα, ιδιαίτερα στις "μέσες" βαθμολογίες. Είμαι σίγουρος ότι όλοι οι συνάδελφοι δίδαξαν τέτοια θέματα, τα οποία χαρακτηρίζονται "κλασικά". Είμαι σίγουρος ότι όλοι οι υποψήφιοι διδάχθηκαν τέτοια θέματα. Η ψυχραιμία ήταν το κλειδί που θα ξεκλείδωνε τις λύσεις. Ακόμη και με "ανεμομαζώματα" (κάνω ό,τι μπορώ, απ' όπου μπορώ και απλά μαζεύω μονάδες), μπορούσε κάποιος να φτάσει σ' έναν αξιοπρεπή βαθμό.

συμφωνώ!

Επιτροπή Θεμάτων 12 · #79

Αγαπητοί φίλοι,

Δίνουμε στο συνημμένο αρχείο την 1η έκδοση του Δελτίου Λύσεων των Μαθηματικών Κατεύθυνσης 2012 που συνέταξε η Επιτροπή θεμάτων 2012 του mathematica.gr. Καταβλήθηκε ιδιαίτερη προσπάθεια ώστε οι απαντήσεις να είναι προσεγμένες και πλήρεις ως προς το μαθηματικό μέρος.

Φυσικά ο γόνιμος διάλογος συνεχίζεται στο παρόν θέμα και αν χρειαστεί θα ακολουθήσει και 2η έκδοση του Δελτίου.

Εκ μέρους της Επιτροπής θεμάτων 2012 του mathematica.gr

Edit: Ανεβάσαμε τη 2η έκδοση του Δελτίου Λύσεων με διόρθωση κάποιων τυπογραφικών και προσθήκη μίας εναλλακτικής απόδειξης στην εύρεση της συνάρτησης στο Δ1.

Α.Κυριακόπουλος · #80

Η ερώτηση ${\rm A}{\rm{ 4}}$ $\varepsilon$ για τις συναρτήσεις π.χ. f(x)=0

και $g(x)={{x}^{2}}$ είναι σωστή, ενώ για τις $f(x)={{x}^{3}}$ και $g(x)={{e}^{x}}+2x-1$ με $(\alpha ,\beta )=(0,2)$ ( και όχι μόνο) είναι λάθος.
Τι θα έπρεπε λοιπόν να απαντήσει ένας μαθητής; ( ο παραλογισμός σε όλο το μεγαλείο του!!!)
( Νίκο έχεις δίκιο)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Η άποψή μου για τα θέματα

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Η άποψή μου για τα θέματα

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Μέλη σε σύνδεση