Πιθανότητες απλή

p@g · #1

Χαιρετώ όλη την κοινότητα

μετά από αρκετό καιρό!Καλή χρονιά με υγεία εύχομαι!
Έχω μία άσκηση για την οποία θέλω να σιγουρευτώ πως την κοιτάω σωστά, οπότε και την μοιράζομαι μαζί σας.

Άσκηση
Υποθέστε πως σε ένα πανεπιστήμιο η αναλογία των προπτυχιακών φοιτητών που καπνίζουν είναι 15% και η αναλογία των μεταπτυχιακών φοιτητών που καπνίζουν είναι 23%.Αν το 1/5 των φοιτητών είναι μεταπτυχιακοί και οι υπόλοιποι προπτυχιακοί τότε:
i)Ποια η πιθανότητα ένας φοιτητής που καπνίζει να είναι μεταπτυχιακός;
ii)Ένας τυχαία επιλεγμένος φοιτητής του πανεπιστημίου είναι πιο πιθανό να είναι μεταπτυχιακός ή προπτυχιακός;
iii)Να λύσετε ξανά το ii) υποθέτοντας ότι ο φοιτητής καπνίζει.
iv)Υποθέστε ότι το 30% των μεταπτυχιακών φοιτητών ζει σε μια εστία αλλά μόνο το 10% των προπτυχιακών φοιτητών ζει στην εστία.Αν ένας φοιτητής καπνίζει και ζει στην εστία είναι πιο πιθανό να είναι μεταπτυχιακός ή προπτυχιακός;
Μπορείτε να υποθέσετε ότι υπάρχει ανεξαρτησία στη σχέση των φοιτητών που ζουν στην εστία και αυτών που καπνίζουν.

και η σκέψη μου:
Έστω τα ενδεχόμενα Α:ο φοιτητής να είναι μεταπτυχιακός, Β:ο φοιτητής να καπνίζει, C:ο φοιτητής να ζει στην εστία, τότε ξέρω
$P(A\cap B)=0,23$ και $P(A^c\cap B)=0,15$ και $P(A)=\frac{1}{5}$ και $P(A^c)=\frac{4}{5}$

i)ξέρω πως $P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)\Rightarrow P(B)=P(A\cap B)+ P(A^c\cap B)=0,38$
οπότε $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,23}{0,38}=\frac{23}{38}$

ii) $P(A^c)=\frac{4}{5} > P(A)=\frac{1}{5}$ άρα πιο πιθανό είναι να είναι προπτυχιακός

iii)πρέπει να συγκρίνω τις πιθανότητες $P(A|B)=\frac{23}{38}$ και $P(A^c|B)=\frac{P(A^c\cap B)}{P(B)}=\frac{15}{38}$ άρα πιο πιθανό ένας φοιτητής που καπνίζει να είναι μεταπτυχιακός.

iv)γνωρίζω $P(A\cap C)=0,3$ και $P(A^c\cap C)=0,1$ και λόγω ανεξαρτησίας $P(B\cap C)=P(B)P(C)$ . πρέπει να συγκρίνω τώρα
τις πιθανότητες $P(A|B\cap C)$ και $P(A^c|B\cap C)$ ή ισοδύναμα τις $P(A\cap B\cap C)$ και $P(A^c\cap B\cap C)$ .
Nα χρησιμοποιήσω τις
$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C) (1)$

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(A^c\cap (B\cup C))=P(A)+P((A^c\cap B)\cup (A^c\cap C))$
$=P(A)+P(A^c\cap B)+P(A^c\cap C)- P(A^c\cap B\cap C) (2)$ ;

Σας ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια ξυπνήσαν ωραίες μνήμες συντάσοντας το μήνυμα!
Παναγιώτης

Πιθανότητες απλή

Πιθανότητες απλή

Μέλη σε σύνδεση