Πρόβλημα Συνδιαστικής

[ThomasG]

Καλημέρα σας,
Πρόσφατα μου τέθηκε ένα πρόβλημα συνδιαστικής από ένα μαθητή. Το πρόβλημα έχει ως εξής: Σε ένα στρογγυλό τραπέζι σε ένα εστιατόριο κάθονται άνθρωποι. Υπάρχουν τριων ειδών φαγητά που μπορούν να σερβιριστούν σε κάθε ένα από αυτούς. Πόσοι είναι οι δυνατοί τρόποι που μπορούν να μοιραστούν τα φαγητά στους αυτούς ανθρώπους έτσι ώστε κανένας από αυτούς να μην έχει το ίδιο φαγητό με τον διπλανό του. Η απάντηση που έδωσα εγώ είναι αλλά δεν είμαι σίγουρος για την ορθότητα της. Ποια είναι η άποψη σας; Σας ευχαριστώ πολύ.

[Demetres]

Όχι, δεν είναι σωστό. Ουσιαστικά άρχισες να δίνεις κυκλικά τα φαγητά και στον τελευταίο υπόθεσες ότι μπορείς να του δώσεις φαγητό με μόνο ένα τρόπο. Κάποιες όμως φόρες μπορείς να του δώσεις και με δύο τρόπους. Αυτό συμβαίνει όταν τύχει ο πρώτος και ο προτελευταίος να πάρουν ακριβώς το ίδιο φαγητό.

Ας γράψουμε για τον αριθμό των τρόπων που μπορούμε να το κάνουμε αυτό.

Αν δεν απαγορεύεται ο και ο να πάρουν το ίδιο φαγητό, τότε μπορώ να το κάνω με τρόπους.

Όμως το πιο πάνω μετρά επιπλέον και τους τρόπους με τους οποίους ο και ο παίρνουν το ίδιο φαγητό. Αυτό γίνεται με τρόπους.

Άρα .

Επαγωγικά τώρα μπορεί να δειχθεί ότι .

[dement]

Ισχύει ο αναδρομικός τύπος (παίρνοντας έναν συνδαιτυμόνα ως βάση, ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στην περίπτωση να μην έχει το ίδιο φαγητό ο παραδεξιά του ενώ ο δεύτερος να έχει το ίδιο). Μαζί με τις περιπτώσεις παίρνουμε τον τύπο .

(Με έφαγε στις καθυστερήσεις ο Δημήτρης!)

[ThomasG]

Σας ευχαριστώ πολύ και τους δύο. Ξεκινάω διαβασμα☺