SAD=BAC

[ηλεκτρο]

Δίνεται τετράπλευρο με . Αν ισχύει και το μέσο της πλευράς , δείξτε ότι:

[vittasko]

Καλωσόρισες αγαπητέ ηλεκτρο και καλή συνέχεια.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ωραία άσκηση για όσους θέλουν να την προσπαθήσουν χρησιμοποιώντας κλασσικό θεώρημα που αφορά στη συμμετροδιάμεσο τριγώνου.

Ας κάνουν λίγο κράτει ( μέχρι αύριο ) μερικοί... ( ονόματα δεν λέμε ).

Κώστας Βήττας.

[Μπάμπης Στεργίου]

Δίνεται τετράπλευρο με . Αν ισχύει και το μέσο της πλευράς , δείξτε ότι:

Όπως έγραψε και ο Κώστας , είναι πολύ ωραία άσκηση ! Είναι από κάποιο διαγωνισμό, δεν θυμάμαι ποιον. Την έχω στο αρχείο μου με δύο λύσεις. Η μία είναι αυτή που περιγράφει ο Κώστας με τη συμμετροδιάμεσο. Η άλλη θέλει εγγράψιμα.
Θα την έχω στο Γεωμετρία για Διαγωνισμούς - 1, που τον Ιούλιο θα είναι μάλλον έτοιμο.Αφήνω για την ώρα να τη χαρούν οι φίλοι της γεωμετρίας και αν χρειαστεί θα βάλουμε και λύση.Καλύτερα όμως θα βάλουν τη λύση οι μαθητές της Ομάδας μας για την ΙΜΟ ή άλλοι αναγνώστες μας.

Μπάμπης

[Κώστας Παππέλης]

Αν είναι το περίκεντρο του τότε από τη συνθήκη έχουμε ότι το είναι εγγράψιμο. Ο κύκλος αυτός όμως διέρχεται και από το σημείο τομής των εφαπτόμενων του περιγεγραμμένου του στα . Το όμως ανήκει ταυτόχρονα στη μεσοκάθετη του , το ίδιο και το σημείο τομής των εφαπτόμενων, άρα υποχρεωτικά ταυτίζονται. Από γνωστή πρόταση τώρα έχουμε ότι συμμετροδιάμεσος.

[vittasko]

Μία μικρή διευκρίνιση.

Το περίκεντρο του τριγώνου ανήκει στον περίκυκλο του και είναι αντιδιαμετρικό του επειδή και τα δύο ανήκουν στην μεσοκάθετη ευθεία του

Έτσι, από και συμπεραίνουμε ότι το είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων του περίκυκλου του στα σημεία από όπου συνεπάγεται ότι η είναι η -συμμετροδιάμεσος, αυτού του τριγώνου.

Δείτε Εδώ, μερικές αποδείξεις ( ιδιαίτερα αυτήν στην τελευταία δημοσίευση # 10 # ) του κλασσικού θεωρήματος, στο οποίο βασίζεται το προηγούμενο αποτέλεσμα.

Δείτε επίσης Εδώ, μία όμορφη απόδειξη με εγγράψιμα ( δημοσίευση # 6 # ), του προβλήματος που έχει τεθεί, στην οποία νομίζω αναφέρθηκε ο Μπάμπης πιο πάνω.

Όμορφη επίσης και η απόδειξη με αρμονικά συζυγή, που υπονοεί ο Tigran Sloyan από την Αρμενία ( υπογράφει ως Tiks ) στο # 2 #.

Θα βάλω αργότερα αυτές τις δύο αποδείξεις, για να υπάρχουν και στο αρχείο του .

Κώστας Βήττας.

[vittasko]

Ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα, στο ίδιο σχήμα με το πρόβλημα που έχει τεθεί, είναι το παρακάτω :

Ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα τέμνει τη διχοτόμο της γωνία του δοσμένου τετραπλεύρου στο σημείο έστω και έστω το σημείο όπου είναι το περίκεντρο του Αποδείξτε ότι όπου είναι οι προβολές του επί των αντιστοίχως.

Κώστας Βήττας.

[ηλεκτρο]

Δεν καταλαβαίνω τη λύση

[vittasko]

Ας το ξαναδούμε πιο αναλυτικά ( σχήμα f=50_t=7506 ).

Έστω το περίκεντρο του τριγώνου και άρα έχουμε ότι

Από και από στην εκφώνηση, προκύπτει ότι και άρα το είναι εγγράψιμο τετράπλευρο με περίκυκλο έστω

Από στην εκφώνηση, έχουμε ότι το ανήκει στη μεσοκάθετη ευθεία του

Ομοίως, από έχουμε ότι το ανήκει επίσης στη μεσοκάθετη του

Συμπεραίνεται έτσι, ότι τα είναι αντιδιαμετρικά σημεία στον κύκλο ως τα σημεία τομής του από τη μεσοκάθετη ευθεία της χορδής του

Από και

Από , προκύπτει ότι το είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων του περίκυκλου του τριγώνου στις κορυφές του και σύμφωνα με το γνωστό θεώρημα που αναφέρθηκε πιο πάνω, συμπεραίνουμε ότι η ευθεία είναι η συμμετροδιάμεσος του δια της κορυφής του ( -symmedian στη διεθνή βιβλιογραφία και ελληνιστί, -συμμετροδιάμεσος ).

Η ευθεία δηλαδή, είναι συμμετρική της διαμέσου του , ως προς τη διχοτόμο της γωνίας

Άρα έχουμε ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.