Ριζικός άξονας

[chris_gatos]

Πήγα για να αγοράσω βιβλία και έπεσα πάνω στο καινούργιο βιβλίο του Μπάμπη!
Λέγεται Γεωμετρία 3 (αλήθεια γιατί 3;)
Μετρικές σχέσεις σε κύκλο-Ριζικός άξονας-Ριζικό κέντρο.
Μιλάμε μοσχομυρίζει φρεσκάδα!
Σκέφτηκα να δώσω την παρακάτω άσκηση (διάβαζα μέσα στο λεωφορείο,εξαιρετικά ενδιαφέρον βιβλίο).
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα μεταβλητά σημεία Μ,Ν των πλευρών ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα.Οι κύκλοι με διαμέτρους ΒΝ,ΓΜ τέμνονταιι στα σημεία Κ και Λ.Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΚΛ διέρχεται απο σταθερό σημείο.
Να'σαι καλά Μπάμπη και πάντα όμορφα βιβλία σαν κι αυτό για να μαθαίνουμε γεωμετρία!

[dimitris pap]

Εστω Ρ, Σ, Τ μέσα των ΒΓ, ΒΝ, ΓΜ αντίστοιχα.
Εστω επίσης Β',Γ' τα ίχνη των υψών του ΑΒΓ απ' τα Β,Γ αντίστοιχα.

Τότε ο ριζικός άξονας των είναι το BB' ενώ ο ριζοκός άξονας των είναι το CC'. Oι ριζοκοί αυτοί άξονες τέμνονται στο ορθόκεντρο κι άρα αυτό θα αποτελεί το ριζικό κέντρο των 3 αυτών κύκλων. Αυτό σημαίνει ότι το KL, δηλαδή ο ριζοκός άξονας των κύκλων διέρχεται απ' το

Με την ευκαιρία θέλω να ευχηθώ ολόψυχα καλή συνέχεια στον κ. Στεργίου με τη συγγραφή αυτών των βιβλίων που προωθούν την ελληνική μαθηματική βιβλιογραφία.

[p_gianno]

Καλησπέρα

Ο κύκλος διαμέτρου ΝΒ διέρχεται πάντα από τα σημεία Η και Β όπου Η το ίχνος του ύψους ΒΗ του τριγώνου ΑΒΓ (διέρχεται από το Η διότι ΝΗΒ=90ο
συνεπώς το Η βλέπει υπο ορθή γωνία τη διάμετρο ΒΝ).
Το ίδιο ισχύει για το Ζ και τον κύκλο διαμέτρου ΜΓ (ΓΖ ύψος του τριγ ΑΒΓ)
Κατασκευάζουμε τον κύκλο διαμέτρου ΒΓ ο οποίος προφανώς διέρχεται από τα Ζ και Η
Οι ευθείες των υψών ΓΖ και ΒΗ είναι οι φορείς των κοινών χορδών – ριζικών αξόνων των ζευγών των κύκλων διαμέτρων ΒΓ,ΜΓ και ΒΓ,ΒΝ αντιστοίχως
συνεπώς το Θ είναι το ριζικό κέντρο των τριών κύκλων και από αυτό επομένως θα διέρχεται και ο τρίτος δοθείς ριζικός άξονας ΚΛ.
Άρα το ζητούμενο σταθερό σημείο είναι το ορθόκεντρο Θ του τριγ ΑΒΓ.

rizikos axonas.png

Πάνος

[Μπάμπης Στεργίου]

Πήγα για να αγοράσω βιβλία και έπεσα πάνω στο καινούργιο βιβλίο του Μπάμπη!
Λέγεται Γεωμετρία 3 (αλήθεια γιατί 3;)
Μετρικές σχέσεις σε κύκλο-Ριζικός άξονας-Ριζικό κέντρο.
Μιλάμε μοσχομυρίζει φρεσκάδα!
Σκέφτηκα να δώσω την παρακάτω άσκηση (διάβαζα μέσα στο λεωφορείο,εξαιρετικά ενδιαφέρον βιβλίο).
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα μεταβλητά σημεία Μ,Ν των πλευρών ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα.Οι κύκλοι με διαμέτρους ΒΝ,ΓΜ τέμνονταιι στα σημεία Κ και Λ.Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΚΛ διέρχεται απο σταθερό σημείο.
Να'σαι καλά Μπάμπη και πάντα όμορφα βιβλία σαν κι αυτό για να μαθαίνουμε γεωμετρία!

Χρήστο , δεν το έχω δει ακόμα και δε σου κρύβω ότι αν και έχω γράψει πάνω από 20 βιβλία, αυτό το καρτερώ με μια ιδιαίτερη λαχτάρα !

α) Το Γεωμετρία 3 σημαίνει ότι το 1 θα είναι μέχρι εγγράψιμα, το 2 μέχρι και τα εμβαδά και το 4 θα έχει αρμονικές τετράδες, όλα τα ειδικά θεωρήματα(pascal , Brianchon , Steiner , Vecten , Desarges , κλπ) όπως επίσης λέω να βάλω γεωμετρικούς μετασχηματισμούς και αντιστροφή ! Είναι τεράστιο βέβαια εγχείρημα, αλλά δε βιαζόμαστε.Λίγο λίγο ! Τώρα που έχω και σας να με βοηθάτε σε ασκήσεις που δεν προλαβαίνω να λύσω ή να βρίσκετε και άλλες λύσεις, θα νοιώθω πιο ξένοιαστος.

β) Να ευχαριστήσω και σένα και τους συναδέλφους για τις ευχές σας ! Θα προσπαθήσω να πείσω τον εκδότη να το δίνει στους μαθηματικούς σε μια καλύτερη τιμή. Το έχει νομίζω λίγο κάτω από 20 αλλά σκεφτείτε ότι της ΕΜΕ που έχει μόνο τα θέματα των διαγωνισμών κοστίζει 30.Μακάρι να είχαμε μεγάλο αναγνωστικό κοινό και θα εύρισκα τρόπο να το δώσω σε όλους σας τιμητικά !Αλλά με 200 βιβλία το χρόνο , τι να σου κάνει και ο εκδότης. Εϊχα σκοπό να το βγάλω μόνος μου και να τυπώσω μόνο 200 βιβλία, αλλά σκέφτηκα ότι θα ήταν κρίμα να μην μπορούν όλοι τουλάχιστον να το δουν!

γ) Μπορείτε και εδώ να προτείνετε όποιο θέμα θέλετε, ώστε και οι φίλοι μας να λύνουν και άλλες λύσεις να μαζεύουμε. Στο βιβλίο περιορίστηκα κυρίως στις μετρικές λύσεις και μόνο σε σχετικά λίγες περιπτώσεις έβαζα και άλλη λύση , είτε με πολικές είτε με αρμονικές τετράδες κλπ.

Αυτά ! Η γεωμετρία είναι εξαιρετικός τομέας και μακάρι κάποια στιγμή να μπει στα σχολεία σε μια πιο καλή βάση.Ίσως σε κάποια ουσιαστική αναμόρφωση της ύλης να μπορεί να γίνει κάτι καλύτερο. Δε λέω να φτάσουμε στα σκληρά επίπεδα του 1965 - 1975 , αλλά μπορεί να γίνει κάτι ενδιάμεσο.
Καλό σας βράδυ -
Μπάμπης

[chris_gatos]

Μακάρι να αναμορφωθεί Μπάμπη,για να γίνουμε κι εμείς καλύτεροι. Με έβαλες στο τριπάκι να διαβασω σήμερα μέχρι αργα Γεωμετρία ( πρέπει να γίνω καλύτερος εκεί ). Κατέβασα τον Κανέλλο,τον Τόγκα,τον Ντάνη,τον Πρασόλοφ που μου δάνεισε ένας φίλος κι έχω και το δικό σου. Κεφάλια μέσα και διάβασμα!
Υ.Γ Ωστόσο κάθομαι και...χαζεύω το σχήμα και τη λύση του Πάνου (math_finder). Ποιήμα !!