ΑΠΟ ΤΗ ΡΙΓΑ ΤΗΣ ΛΕΤΟΝΙΑΣ
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 1293
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
ΑΠΟ ΤΗ ΡΙΓΑ ΤΗΣ ΛΕΤΟΝΙΑΣ
Ίσως έχετε αντιληφθεί ότι με ενδιαφέρουν θέματα που ξεκινούν ως εξής:
Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο (το βρίσκεται στην ,το βρίσκεται στην , το βρίσκεται στην ). Ισχύει ότι .
Ήθελα να έχω μια ικανή συνθήκη έτσι ώστε τα τρίγωνα , να είναι όμοια. Δεν το έψαξα γιατί δεν είχα χρόνο...
Όμως βρήκα αυτό που ήθελα στο βιβλίο '' ΠΑΝΕΝΩΣΙΑΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ ΤΗΣ Ε.Σ.Σ.Δ. '' τόμος 2 . Συγκεκριμένα πρόκειται για το θέμα 500 στο βιβλίο αυτό , ένα θέμα που έπεσε στην 23η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα που έγινε στη Ρίγα.
Με χαρά σας το προτείνω.
Στις πλευρές , και τριγώνου βάφτηκαν με πράσινο χρώμα τα σημεία , και αντίστοιχα , διάφορα από τις κορυφές του τριγώνου.
Εξάλλου , γι' αυτά ισχύει
και
Αποδείξτε ότι το τρίγωνο με τις πράσινες κορυφές είναι όμοιο με το τρίγωνο
Στο όμορφο αυτό θέμα ας μου επιτραπεί ακόμα ένα ζητούμενο .
Αν η κοινή τιμή των λόγων
βρείτε το λόγο ομοιότητας των ομοίων τριγώνων του προαναφερθέντος θέματος συναρτήσει του
Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο (το βρίσκεται στην ,το βρίσκεται στην , το βρίσκεται στην ). Ισχύει ότι .
Ήθελα να έχω μια ικανή συνθήκη έτσι ώστε τα τρίγωνα , να είναι όμοια. Δεν το έψαξα γιατί δεν είχα χρόνο...
Όμως βρήκα αυτό που ήθελα στο βιβλίο '' ΠΑΝΕΝΩΣΙΑΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ ΤΗΣ Ε.Σ.Σ.Δ. '' τόμος 2 . Συγκεκριμένα πρόκειται για το θέμα 500 στο βιβλίο αυτό , ένα θέμα που έπεσε στην 23η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα που έγινε στη Ρίγα.
Με χαρά σας το προτείνω.
Στις πλευρές , και τριγώνου βάφτηκαν με πράσινο χρώμα τα σημεία , και αντίστοιχα , διάφορα από τις κορυφές του τριγώνου.
Εξάλλου , γι' αυτά ισχύει
και
Αποδείξτε ότι το τρίγωνο με τις πράσινες κορυφές είναι όμοιο με το τρίγωνο
Στο όμορφο αυτό θέμα ας μου επιτραπεί ακόμα ένα ζητούμενο .
Αν η κοινή τιμή των λόγων
βρείτε το λόγο ομοιότητας των ομοίων τριγώνων του προαναφερθέντος θέματος συναρτήσει του
Re: ΑΠΟ ΤΗ ΡΙΓΑ ΤΗΣ ΛΕΤΟΝΙΑΣ
Για τον πρώτο ερώτημα (ενδιαφέρον θέμα και όχι μόνο από γεωμετρική σκοπιά! )
Ας είναι (ορίζω έτσι το σημείο πάνω στην ). Όπως αποδείξαμε εδώ: viewtopic.php?f=22&t=53505 το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, οπότε και επειδή άρα και (κόκκινες γωνίες)
Άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, οπότε (γαλάζιες γωνίες) και αφού τα δύο τρίγωνο έχουν δύο ίσες γωνίες θα έχουν και τις τρίτες γωνίες ίσες και το πρώτο ζητούμενο εδείχθη.
Υποθέτω ότι χρειάζεται και κάποια διερεύνηση όσον αφορά τις θέσεις των σημείων πάνω στις αντίστοιχες πλευρές αλλά δεν νομίζω ότι θα αλλάξει κάτι και κυρίως δεν έχω άλλο ελεύθερο χρόνο για διερεύνηση.)
Ας είναι (ορίζω έτσι το σημείο πάνω στην ). Όπως αποδείξαμε εδώ: viewtopic.php?f=22&t=53505 το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, οπότε και επειδή άρα και (κόκκινες γωνίες)
Άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, οπότε (γαλάζιες γωνίες) και αφού τα δύο τρίγωνο έχουν δύο ίσες γωνίες θα έχουν και τις τρίτες γωνίες ίσες και το πρώτο ζητούμενο εδείχθη.
Υποθέτω ότι χρειάζεται και κάποια διερεύνηση όσον αφορά τις θέσεις των σημείων πάνω στις αντίστοιχες πλευρές αλλά δεν νομίζω ότι θα αλλάξει κάτι και κυρίως δεν έχω άλλο ελεύθερο χρόνο για διερεύνηση.)
Re: ΑΠΟ ΤΗ ΡΙΓΑ ΤΗΣ ΛΕΤΟΝΙΑΣ
Για το δεύτερο ερώτημα
Αν τότε:
και έστω και αν τότε:
και αντικαθιστώντας το με το ίσον του, , παίρνουμε τον ζητούμενο λόγο ομοιότητας των δύο τριγώνων.
Αν τότε:
και έστω και αν τότε:
και αντικαθιστώντας το με το ίσον του, , παίρνουμε τον ζητούμενο λόγο ομοιότητας των δύο τριγώνων.
-
- Δημοσιεύσεις: 1293
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΑΠΟ ΤΗ ΡΙΓΑ ΤΗΣ ΛΕΤΟΝΙΑΣ
Γράφω τη λύση μου για το πρόσθετο ζητούμενο.
Στην δημοσίευση viewtopic.php?f=22&t=52106&p=248967#p248967 , μεταξύ άλλων , αποδείχθηκε ότι
όπου με την κοινή τιμή των λόγων έτσι όπως ορίστηκε στη διατύπωση.
Γνωρίζω από τη σχολική ύλη ότι
Έτσι λοιπόν και μετά από κάποιες πράξεις καταλήγουμε ότι
Aυτός είναι ο ζητούμενος λόγος ομοιότητας συναρτήσει του
Στην δημοσίευση viewtopic.php?f=22&t=52106&p=248967#p248967 , μεταξύ άλλων , αποδείχθηκε ότι
όπου με την κοινή τιμή των λόγων έτσι όπως ορίστηκε στη διατύπωση.
Γνωρίζω από τη σχολική ύλη ότι
Έτσι λοιπόν και μετά από κάποιες πράξεις καταλήγουμε ότι
Aυτός είναι ο ζητούμενος λόγος ομοιότητας συναρτήσει του
-
- Δημοσιεύσεις: 1293
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΑΠΟ ΤΗ ΡΙΓΑ ΤΗΣ ΛΕΤΟΝΙΑΣ
Νομίζω ότι εδώ είναι το κατάλληλο thread για να γράψω κάποιες σκέψεις γύρω από αυτό το θέμα...
Με απασχόλησε το εξής ερώτημα: Είναι δυνατόν να βρεθεί τιμή του έτσι ώστε να είμαι βέβαιος ότι τα τρίγωνα να είναι όμοια ;
Μετά από κάποιους συλλογισμούς, κατέληξα ότι γίνεται να βρεθεί τέτοια τιμή.
Σας εκθέτω τις σκέψεις μου.
Από την προηγούμενη δημοσίευση είναι γνωστό ότι αν τα τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος ομοιότητας είναι ίσος με
Μην φανταστείτε ότι σκέφτηκα κάτι εξαιρετικά σπουδαίο, σε κάτι πολύ απλό πήγε το μυαλό μου.
Αν υπάρχει τιμή του έτσι ώστε και και τότε μάλλον καλά πάνε τα πράγματα...
Στα όσα γράφω παρακάτω υποθέτω ότι η είναι η μικρότερη πλευρά του τριγώνου.
Από το τρίγωνο έχω ότι
Έτσι μπορεί να γραφεί ότι
και αφού ισοδύναμα έχω ότι
που ισοδυναμεί με
Aπό το τρίγωνο έχω ότι
Έτσι μπορεί να γραφεί ότι
Aπό το τρίγωνο έχω ότι
Έτσι μπορεί να γραφεί ότι
H παραπάνω δευτεροβάθμια ως προς εξίσωση έχει διακρίνουσα ίση με και οι λύσεις της είναι το και το
Τι πέτυχα με όλα αυτά; Να αποδείξω το εξής:
Έστω σκαληνό τρίγωνο με μικρότερη πλευρά την .Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο στο τρίγωνο (το βρίσκεται στην ,το βρίσκεται στην , το βρίσκεται στην ). Ισχύει επίσης ότι .
Αν τότε τα τρίγωνα είναι όμοια και αντιστρόφως.
Όλα τα παραπάνω, που πιθανόν να μην ενδιαφέρουν πολλούς, είναι το αποτέλεσμα μιας προσωπικής περιέργειας...
Με απασχόλησε το εξής ερώτημα: Είναι δυνατόν να βρεθεί τιμή του έτσι ώστε να είμαι βέβαιος ότι τα τρίγωνα να είναι όμοια ;
Μετά από κάποιους συλλογισμούς, κατέληξα ότι γίνεται να βρεθεί τέτοια τιμή.
Σας εκθέτω τις σκέψεις μου.
Από την προηγούμενη δημοσίευση είναι γνωστό ότι αν τα τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος ομοιότητας είναι ίσος με
Μην φανταστείτε ότι σκέφτηκα κάτι εξαιρετικά σπουδαίο, σε κάτι πολύ απλό πήγε το μυαλό μου.
Αν υπάρχει τιμή του έτσι ώστε και και τότε μάλλον καλά πάνε τα πράγματα...
Στα όσα γράφω παρακάτω υποθέτω ότι η είναι η μικρότερη πλευρά του τριγώνου.
Από το τρίγωνο έχω ότι
Έτσι μπορεί να γραφεί ότι
και αφού ισοδύναμα έχω ότι
που ισοδυναμεί με
Aπό το τρίγωνο έχω ότι
Έτσι μπορεί να γραφεί ότι
Aπό το τρίγωνο έχω ότι
Έτσι μπορεί να γραφεί ότι
H παραπάνω δευτεροβάθμια ως προς εξίσωση έχει διακρίνουσα ίση με και οι λύσεις της είναι το και το
Τι πέτυχα με όλα αυτά; Να αποδείξω το εξής:
Έστω σκαληνό τρίγωνο με μικρότερη πλευρά την .Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο στο τρίγωνο (το βρίσκεται στην ,το βρίσκεται στην , το βρίσκεται στην ). Ισχύει επίσης ότι .
Αν τότε τα τρίγωνα είναι όμοια και αντιστρόφως.
Όλα τα παραπάνω, που πιθανόν να μην ενδιαφέρουν πολλούς, είναι το αποτέλεσμα μιας προσωπικής περιέργειας...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες