Παραλληλόγραμμο!

[Κώστας Παππέλης]

Μπορεί να έχω σκουριάσει πια στα Μαθηματικά, αλλά όχι τόσο ώστε να μην απολαμβάνω τις κατασκευές!

Έστω παραλληλόγραμμο και ένα σημείο στο εσωτερικό του ώστε . Έστω ένα ακόμη σημείο στο εσωτερικό του ώστε και . Να αποδειχθεί ότι το βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της .

[Κώστας Παππέλης]

Επαναφέρω με μία βοήθεια, έκανα μια επεξεργασία και στα γράμματα (γιατί έδωσα λάθος βοήθεια στην αρχή):

Θεωρούμε στο ημιεπίπεδο που ορίζει η και δε βρίσκονται οι άλλες δύο κορυφές σημείο ώστε

[MAnTH05]

Έστω παραλληλόγραμμο και ένα σημείο στο εσωτερικό του ώστε . Έστω ένα ακόμη σημείο στο εσωτερικό του ώστε και . Να αποδειχθεί ότι το βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της .

Μία προσέγγιση με την υπόδειξη που δόθηκε:

Θεωρούμε στο ημιεπίπεδο που ορίζει η και δε βρίσκονται οι άλλες δύο κορυφές σημείο ώστε

Εφόσον ισχύει άρα και από το παραλληλόγραμμο τα τετράπλευρα
και είναι παραλληλόγραμμα.

Επομένως και .

Άρα η σχέση μπορεί να γραφτεί ως:


Συνεπώς, από το αντίστροφο του θεωρήματος λαμβάνουμε ότι το τετράπλευρο είναι περιγγράψιμο, δηλαδή υπάρχει κύκλος τέτοιος ώστε να εφάπτεται και στις πλευρές του.

Είναι άρα .
Υποθέσαμε ότι το είναι τέτοιο ώστε Άρα πρέπει και
δηλαδή το ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας

Παρόμοια, εφόσον ισχύει .
Όμως , άρα .
Έτσι, το ανήκει και στη διχοτόμο της γωνίας .

Συνεπώς το σημείο είναι το σημείο τομής διχοτόμων του περιγγράψιμου τετραπλεύρου
άρα το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του.

Επομένως το βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας

παραλληλόγραμμο.png (163.35 KiB) Προβλήθηκε 2832 φορές