Συνευθειακότητα

gavrilos · #1

Καλησπέρα.Προτείνω το εξής πρόβλημα.

Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{\hat{ABC}=30^{\circ}}$ .Έστω $\displaystyle{D,E}$ σημεία των $\displaystyle{BC,CA}$ τέτοια ώστε οι $\displaystyle{AD,BE}$ να είναι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\hat{BAC},\hat{ABC}}$ αντίστοιχα.Έστω ότι ισχύει $\displaystyle{BE=2AD}$ .Έστω επίσης $\displaystyle{I\equiv AD\cap BE}$ .Αν οι περιγγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{ADC}$ και $\displaystyle{BEC}$ τέμνονται στο $\displaystyle{S}$ να αποδειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{A,S,B}$ είναι συνευθειακά.

Πρόκειται για μια προσωπική σύνθεση κατά βάση.Την "ενίσχυσα" βασιζόμενος σε ένα πρόβλημα με το οποίο ασχολήθηκα πρόσφατα.Ελπίζω να μην υπάρχει ευκολότερη λύση από αυτή που έχω σκεφτεί.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

gavrilos έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 20, 2014 3:28 pm
Καλησπέρα.Προτείνω το εξής πρόβλημα.

Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{\hat{ABC}=30^{\circ}}$ .Έστω $\displaystyle{D,E}$ σημεία των $\displaystyle{BC,CA}$ τέτοια ώστε οι $\displaystyle{AD,BE}$ να είναι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\hat{BAC},\hat{ABC}}$ αντίστοιχα.Έστω ότι ισχύει $\displaystyle{BE=2AD}$ .Έστω επίσης $\displaystyle{I\equiv AD\cap BE}$ .Αν οι περιγγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{ADC}$ και $\displaystyle{BEC}$ τέμνονται στο $\displaystyle{S}$ να αποδειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{A,S,B}$ είναι συνευθειακά.

Πρόκειται για μια προσωπική σύνθεση κατά βάση.Την "ενίσχυσα" βασιζόμενος σε ένα πρόβλημα με το οποίο ασχολήθηκα πρόσφατα.Ελπίζω να μην υπάρχει ευκολότερη λύση από αυτή που έχω σκεφτεί.

: 301.PNG (28.74 KiB) Προβλήθηκε 1469 φορές

Από εδώ είναι άμεσο πως $\rm \angle A=90^{\circ}$ .
Αρκεί να δείξω πως αν $\rm S\equiv AB \cap (B,D,I)$ τότε $\rm BCES$ εγγράψιμο.
Είναι $\rm \angle BSD=\angle BID=180^{\circ}-15^{\circ}-\angle IDB=165^{\circ}-(\angle DAC+\angle ACB)=$
$\rm =165^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}=90^{\circ}-\angle SDB$
Άρα $\rm \angle SIB=\angle SDB=90^{\circ}$ που δίνει $\rm \angle ASIE$ εγγράψιμο.Έτσι $\rm \angle ESA=\angle EIA=60^{\circ}=\angle ACB$ που δίνει $\rm SECB$ εγγράψιμο και ολοκληρώνει την απόδειξη.

Συνευθειακότητα

Συνευθειακότητα

Re: Συνευθειακότητα

Μέλη σε σύνδεση