Η εκ του Nagel παράλληλη στη διχοτόμο
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Η εκ του Nagel παράλληλη στη διχοτόμο
Να δειχθεί ότι , όπου το συμμετρικό του μέσου του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου που δεν περιέχει
την κορυφή του ως προς την και το σημείο του τριγώνου .
Στάθης
Υ.Σ. Είναι κάτι που με "ταλαιπωρεί" αρκετό καιρό και ας το βάλω τώρα ως "τροφή" για συζήτηση εν όψη της επικείμενης συνάντησης
Βήττα - Ρεκούμη - Κούτρα και Ιωάννου το ερχόμενο Σαββατοκύριακο μετά των γυναικών αυτών στην όμορφη Βόρεια Εύβοια
την κορυφή του ως προς την και το σημείο του τριγώνου .
Στάθης
Υ.Σ. Είναι κάτι που με "ταλαιπωρεί" αρκετό καιρό και ας το βάλω τώρα ως "τροφή" για συζήτηση εν όψη της επικείμενης συνάντησης
Βήττα - Ρεκούμη - Κούτρα και Ιωάννου το ερχόμενο Σαββατοκύριακο μετά των γυναικών αυτών στην όμορφη Βόρεια Εύβοια
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Η εκ του Nagel παράλληλη στη διχοτόμο
Στάθη πολύ όμορφο.
Είναι από εκείνες τις φορές που βρίσκω κάποια λύση και δεν μπορώ να αντισταθώ στην δημοσίευσή της πριν από την παρέλευση 24ώρου.
Έστω τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του δοσμένου τριγώνου , ισοτoμικά σημεία των και αντιστοίχως. Ισχύει
Από προκύπτει ότι το Σημείο Nagel του ανήκει στην παράλληλη ευθεία προς την διχοτόμο της γωνίας από το σημείο έστω , ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο γνωστό αποτέλεσμα για κάθε ζεύγος σημείων επί των αντιστοίχως για τα οποία ισχύει η , που έχουμε ξαναδεί στο και θα ψάξω να το βρω .
Επειδή τα ζεύγη των σημείων και είναι συμμετρικά ως προς το μέσον της πλευράς προκύπτει ότι
Συμπεραίνεται έτσι, ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Στάθη καλημέρα. Είναι 2:00 πμ και έχω εγερτήριο στις 6:00 πμ για αυθημερόν ταξίδι στο Δρέπανο ( near Patras ) και όταν ξάπλωσα για ύπνο σκέφτηκα ότι είναι τόσο απλό, ώστε δεν μας χρειάζεται κανένα Λήμμα.
Είναι από εκείνες τις φορές που βρίσκω κάποια λύση και δεν μπορώ να αντισταθώ στην δημοσίευσή της πριν από την παρέλευση 24ώρου.
Έστω τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του δοσμένου τριγώνου , ισοτoμικά σημεία των και αντιστοίχως. Ισχύει
Από προκύπτει ότι το Σημείο Nagel του ανήκει στην παράλληλη ευθεία προς την διχοτόμο της γωνίας από το σημείο έστω , ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο γνωστό αποτέλεσμα για κάθε ζεύγος σημείων επί των αντιστοίχως για τα οποία ισχύει η , που έχουμε ξαναδεί στο και θα ψάξω να το βρω .
Επειδή τα ζεύγη των σημείων και είναι συμμετρικά ως προς το μέσον της πλευράς προκύπτει ότι
Συμπεραίνεται έτσι, ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Στάθη καλημέρα. Είναι 2:00 πμ και έχω εγερτήριο στις 6:00 πμ για αυθημερόν ταξίδι στο Δρέπανο ( near Patras ) και όταν ξάπλωσα για ύπνο σκέφτηκα ότι είναι τόσο απλό, ώστε δεν μας χρειάζεται κανένα Λήμμα.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Η εκ του Nagel παράλληλη στη διχοτόμο
Σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση λύνεται άμεσα το παρακάτω πρόβλημα που έχει ξανατεθεί και εδώ
Τα συμμετρικά των μέσων των τόξων του περικυκλίου του τριγώνου που δεν περιέχουν τις κορυφές του αντίστοιχα ως προς
τις αντίστοιχες πλευρές του ανήκουν σε κύκλο διαμέτρου , όπου είναι το ορθόκεντρο και το σημείο του τριγώνου αντίστοιχα. Πράγματι με δεδομένο ότι το συμμετρικό του ορθοκέντρου ως προς την είναι σημείο του περικυκλίου του τριγώνου το τετράπλευρο
είναι ισοσκελές τραπέζιο (με το μέσο του τόξου και το συμμετρικό του ως προς την ) οπότε:
με το αντιδιαμετρικό του ως προς τον . Από τη σχέση προκύπτει ότι το "βλέπει" το τμήμα υπό ορθή γωνία πράγμα που κυκλικά ισχύει
και για τα άλλα δύο συμμετρικά των μέσων των τόξων και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Τα συμμετρικά των μέσων των τόξων του περικυκλίου του τριγώνου που δεν περιέχουν τις κορυφές του αντίστοιχα ως προς
τις αντίστοιχες πλευρές του ανήκουν σε κύκλο διαμέτρου , όπου είναι το ορθόκεντρο και το σημείο του τριγώνου αντίστοιχα. Πράγματι με δεδομένο ότι το συμμετρικό του ορθοκέντρου ως προς την είναι σημείο του περικυκλίου του τριγώνου το τετράπλευρο
είναι ισοσκελές τραπέζιο (με το μέσο του τόξου και το συμμετρικό του ως προς την ) οπότε:
με το αντιδιαμετρικό του ως προς τον . Από τη σχέση προκύπτει ότι το "βλέπει" το τμήμα υπό ορθή γωνία πράγμα που κυκλικά ισχύει
και για τα άλλα δύο συμμετρικά των μέσων των τόξων και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Η εκ του Nagel παράλληλη στη διχοτόμο
Στάθη, την χάρηκα αυτή την λύση σου. Εναλλακτικά για την καθετότητα μπορούμε να πούμε το έξής:
Από και λόγω προκύπτει .
ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω , δύο σημεία επί των πλευρών του αντιστοίχως, ώστε να είναι Αποδείξτε ότι το σημείο ανήκει στην δια του παράλληλη ευθεία προς την διχοτόμο της γωνίας , όπου είναι το σημείο ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο. Δια των σημείων φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις οι οποίες τέμνονται στο σημείο έστω και έστω τα σημεία και
Από και και προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι ρόμβος και άρα έχουμε ότι η ευθεία διχοτομεί την γωνία και λόγω του παραλληλογράμμου είναι παράλληλη προς την διχοτόμο της γωνίας
Για το παραλληλόγραμμο με το ως εσωτερικό του σημείο και και έστω και για , σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι τα σημεία και είναι συνευθειακά.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι το σημείο ανήκει στην δια του παράλληλη ευθεία προς την διχοτόμο της γωνίας και η Βοηθητική πρόταση έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται παραλληλόγραμμο και έστω τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Δια του σημείου φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις οι οποίες τέμνουν τις στα σημεία αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το παραπάνω Λήμμα.
Από και λόγω προκύπτει .
Πρόκειται για την ακόλουθη Βοηθητική πρόταση : ( την οποία δεν βρίσκω και ίσως να ήταν λάθος αναφορά )vittasko έγραψε:... Ισχύει
Από προκύπτει ότι το Σημείο Nagel του ανήκει στην παράλληλη ευθεία προς την διχοτόμο της γωνίας από το σημείο έστω , ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο γνωστό αποτέλεσμα για κάθε ζεύγος σημείων επί των αντιστοίχως για τα οποία ισχύει η , που έχουμε ξαναδεί στο και θα ψάξω να το βρω .
ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω , δύο σημεία επί των πλευρών του αντιστοίχως, ώστε να είναι Αποδείξτε ότι το σημείο ανήκει στην δια του παράλληλη ευθεία προς την διχοτόμο της γωνίας , όπου είναι το σημείο ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο. Δια των σημείων φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις οι οποίες τέμνονται στο σημείο έστω και έστω τα σημεία και
Από και και προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι ρόμβος και άρα έχουμε ότι η ευθεία διχοτομεί την γωνία και λόγω του παραλληλογράμμου είναι παράλληλη προς την διχοτόμο της γωνίας
Για το παραλληλόγραμμο με το ως εσωτερικό του σημείο και και έστω και για , σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι τα σημεία και είναι συνευθειακά.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι το σημείο ανήκει στην δια του παράλληλη ευθεία προς την διχοτόμο της γωνίας και η Βοηθητική πρόταση έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται παραλληλόγραμμο και έστω τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Δια του σημείου φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις οι οποίες τέμνουν τις στα σημεία αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το παραπάνω Λήμμα.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Η εκ του Nagel παράλληλη στη διχοτόμο
Υπάρχει κάπου μία στοιχειώδης απόδειξη αυτού του Λήμματος και ελπίζω ότι θα την βρω. (*)vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται παραλληλόγραμμο και έστω τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Δια του σημείου φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις οι οποίες τέμνουν τις στα σημεία αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Ας δούμε εδώ μία προσέγγιση βασισμένη στο θεώρημα Πάππου. Έστω τα ( κατά εκδοχήν ) σημεία και
Επί των ευθειών θεωρούμε τις τριάδες των σημείων και και σύμφωνα με το θεώρημα Πάππου, προκύπτει ως άμεσο συμπέρασμα ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ : Το ως άνω Λήμμα είναι στην πραγματικότητα μία ειδική περίπτωση ενός γνωστού επίσης ως Θεώρημα Brianchon, όπου πάλι τα σημεία είναι συνευθειακά, αλλά το είναι τυχόν τετράπλευρο, με το τυχόν σημείο στο εσωτερικό του και τα σημεία και όπου και και . Το ως άνω Θεώρημα Brianchon, αποδεικνύεται ομοίως, ως άμεσο συμπέρασμα του Θεωρήματος Πάππου, θεωρώντας τις τριάδες των σημείων και επί των ευθειών αντιστοίχως ( Δ.Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ - Mαθηματικές Ολυμπιάδες - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1 , Σελίδα 177 - Αυτοέκδοση , Αθήνα 1987 ).
Κώστας Βήττας.
(*) (19-03-2016) - Δείτε Εδώ .
Re: Η εκ του Nagel παράλληλη στη διχοτόμο
Χαιρετώ τους γεωμέτρες του .Δίνω μια διαφορετική λύση.
Έστω . Επίσης θεωρούμε τα μέσα των τμημάτων .
Από γνωστό λήμμα ισχύει ( εφόσον ). Επιπλέον ( ενώνει μέσα στο τρίγωνο ). Επομένως, τα σημεία είναι συνευθειακά.
Τώρα αφενός ισχύει ( απ' το τρίγωνο ) και αφετέρου ( απ' τη συνεθειακότητα ).
Εύκολα, πλέον, αναγόμαστε στο ζητούμενο.
Έστω . Επίσης θεωρούμε τα μέσα των τμημάτων .
Από γνωστό λήμμα ισχύει ( εφόσον ). Επιπλέον ( ενώνει μέσα στο τρίγωνο ). Επομένως, τα σημεία είναι συνευθειακά.
Τώρα αφενός ισχύει ( απ' το τρίγωνο ) και αφετέρου ( απ' τη συνεθειακότητα ).
Εύκολα, πλέον, αναγόμαστε στο ζητούμενο.
Αντώνης Ζητρίδης
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Η εκ του Nagel παράλληλη στη διχοτόμο
Έστω το σημείο τομής της εκ του παραλλήλου προς την με την πλευρά του παραλληλογράμμου . Τότε προφανώς παραλληλόγραμμοvittasko έγραψε: ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω , δύο σημεία επί των πλευρών του αντιστοίχως, ώστε να είναι Αποδείξτε ότι το σημείο ανήκει στην δια του παράλληλη ευθεία προς την διχοτόμο της γωνίας , όπου είναι το σημείο ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο.
(αφού και ) και με ,
όπου η διχοτόμος της γωνίας του τριγώνου και έστω .
[attachment=0]Βοηθητική πρόταση.png[/attachment]
Είναι και με
. Από
οπότε σύμφωνα με το αντίστροφο του Θεωρήματος του Θαλή θα είναι και η βοηθητική πρόταση έχει αποδειχθεί.
Στάθης
- Συνημμένα
-
- Βοηθητική πρόταση.png (26.82 KiB) Προβλήθηκε 4566 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Η εκ του Nagel παράλληλη στη διχοτόμο
Χαιρετώ όλους ! Αφού το παρόν θέμα ήρθε στην επιφάνεια λόγω και του θέματος αυτού..
Βρίσκω την ευκαιρία να καλημερίσω τους κορυφαίους Γεωμέτρες (και όχι μόνο)
Κώστα Βήττα και Στάθη Κούτρα , υποβάλλοντας μια άλλη απόδειξη για την εν λόγω :
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε οτι η είναι η διχοτόμος της , ή ισοδύναμα, ότι οι αποστάσεις από τις πλευρές αντίστοιχα είναι ίσες.
Φέρω . Τότε τα ορθ. τρίγωνα είναι όμοια , όπως και τα ορθ.
αφού λόγω των παραλληλιών είναι και
Έτσι παίρνουμε :
αλλά και .
Προκύπτει συνεπώς και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Με βαθειά εκτίμηση ..
Φιλικά Γιώργος
Βρίσκω την ευκαιρία να καλημερίσω τους κορυφαίους Γεωμέτρες (και όχι μόνο)
Κώστα Βήττα και Στάθη Κούτρα , υποβάλλοντας μια άλλη απόδειξη για την εν λόγω :
Ως γνωστό , οι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών παραλληλογράμμου (που δεν είναι ρόμβος) είναι παράλληλες.ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω δύο σημεία επί των πλευρών του αντιστοίχως, ώστε να είναι Αποδείξτε ότι το σημείο ανήκει στην δια του παράλληλη ευθεία προς την διχοτόμο της γωνίας όπου είναι το σημείο ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο.
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε οτι η είναι η διχοτόμος της , ή ισοδύναμα, ότι οι αποστάσεις από τις πλευρές αντίστοιχα είναι ίσες.
Φέρω . Τότε τα ορθ. τρίγωνα είναι όμοια , όπως και τα ορθ.
αφού λόγω των παραλληλιών είναι και
Έτσι παίρνουμε :
αλλά και .
Προκύπτει συνεπώς και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Με βαθειά εκτίμηση ..
Φιλικά Γιώργος
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Η εκ του Nagel παράλληλη στη διχοτόμο
Χαιρετώ! Ας δούμε και την γενικότερη πρόταση:
Έστω παραλληλόγραμμο. Θεωρούμε τα σημεία και .
Αν οι τέμνονται στο και οι αποστάσεις του από τις αντιστοίχως ,
τότε ισχύει .
Η απόδειξη που ακολουθεί , ανήκει στον αγαπητό Μιχάλη Τσουρακάκη όπως δόθηκε στο θέμα ΤΟΥΤΟ [/b]
Για τα τρίγωνα και έχουμε
αλλά και .
Με εξίσωση και διαγραφή των κοινών , προκύπτει η ζητούμενη αναλογία.
Αν επιπλέον είναι , τότε και δηλ η είναι διχοτόμος της ..
Έστω παραλληλόγραμμο. Θεωρούμε τα σημεία και .
Αν οι τέμνονται στο και οι αποστάσεις του από τις αντιστοίχως ,
τότε ισχύει .
Η απόδειξη που ακολουθεί , ανήκει στον αγαπητό Μιχάλη Τσουρακάκη όπως δόθηκε στο θέμα ΤΟΥΤΟ [/b]
Για τα τρίγωνα και έχουμε
αλλά και .
Με εξίσωση και διαγραφή των κοινών , προκύπτει η ζητούμενη αναλογία.
Αν επιπλέον είναι , τότε και δηλ η είναι διχοτόμος της ..
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες