Σημεία στο επίπεδο

#1

Δοθέντος ενός φυσικού αριθμού $\displaystyle{n \ge 4}$ , να αποδειχθεί ότι μπορούμε να βρούμε στο επίπεδο $\displaystyle{n}$

σημεία $\displaystyle{A_1,A_2,...,A_n}$ , τέτοια ώστε για το οποιοδήποτε σημείο $\displaystyle{M}$ του επιπέδου, τουλάχιστον $\displaystyle{n-2}$ από τους

αριθμούς $\displaystyle{MA_1,MA_2,...,MA_n}$ να είναι άρρητοι.

#2

Επαναφορά!

#3

Η λύση μου χρησιμοποιεί αρκετές γνώσεις αριθμησιμότητας. Δεν ξέρω αν υπάρχει κάτι πιο απλό.

Θα το δείξουμε για κάθε $n \geqslant 2$ με επαγωγή στο

.

Για

είναι άμεσο αφού δεν χρειάζεται να δείξουμε κάτι. Έστω λοιπόν ότι ισχύει για n=k

και έστω $A_1,\ldots,A_k$ τα σημεία που επιλέξαμε.

Έστω S_k

το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου τα οποία έχουν ρητή απόστασή από ακριβώς δύο από τα $A_1,\ldots,A_k$ .

Ισχυριζόμαστε ότι το πλήθος των S_k

είναι αριθμήσιμο. Πράγματι, αν ορίσουμε $C_{iq}$ τον κύκλο με κέντρο το A_i

και ακτίνα $q \in \mathbb{Q}^{+}$ , τότε το S_k

είναι το σύνολο όλων των σημείων που ανήκουν σε τουλάχιστον δύο από τους $C_{iq}$ . Μόνο που το πλήθος των $C_{iq}$ είναι αριθμήσιμο, και κάθε δύο τέτοιοι κύκλοι έχουν το πολύ δύο σημεία τομής. Άρα όντως το S_k

είναι αριθμήσιμο.

Παρατηρούμε τώρα ότι για να ισχύει ο ισχυρισμός για n=k+1

αρκεί να επιλέξουμε ως $A_{k+1}$ ένα σημείο του επιπέδου το οποίο δεν έχει επιλεχθεί και το οποίο δεν έχει ρητή απόσταση από κανένα σημείο του S_k

.

Άρα μένει να δειχθεί ότι αν

αριθμήσιμο υποσύνολο του επιπέδου, τότε υπάρχει σημείο

του επιπέδου το οποίο έχει άρρητη απόσταση από όλα τα σημεία του

. [Μετά παίρνουμε $S = S_k \cup \{A_1,\ldots,A_k\}$ για να αποφύγουμε την επιλογή των $A_1,\ldots,A_k$ και τελειώσαμε.]

Θα δείξουμε μάλιστα ότι τέτοιο σημείο

μπορούμε να βρούμε σε οποιαδήποτε ευθεία $\ell$ του επιπέδου. Πράγματι για κάθε σημείο

του

, και κάθε ρητή απόσταση

υπάρχουν το πολύ δύο σημεία της $\ell$ με απόσταση ίση με

από το

. Άρα μόνο πεπερασμένα σημεία της $\ell$ έχουν ρητή απόσταση από κάποιο σημείο της

.

Οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.

#4

s.kap έγραψε:Δοθέντος ενός φυσικού αριθμού $\displaystyle{n \ge 4}$ , να αποδειχθεί ότι μπορούμε να βρούμε στο επίπεδο $\displaystyle{n}$

σημεία $\displaystyle{A_1,A_2,...,A_n}$ , τέτοια ώστε για το οποιοδήποτε σημείο $\displaystyle{M}$ του επιπέδου, τουλάχιστον $\displaystyle{n-2}$ από τους

αριθμούς $\displaystyle{MA_1,MA_2,...,MA_n, }$ να είναι άρρητοι.

Πολλή κομψή η κατασκευή του Δημήτρη.

Βάζω μία στοιχειώδη:

Παίρνουμε στον άξονα των

τα σημεία $\displaystyle{A_1= \sqrt [3] 2 , \, A_2= 2\sqrt [3] 2 , \, A_3=3\sqrt [3] 2 , \, ... }$ . Ισχυρίζομαι ότι κάνουν την δουλειά.

Θα γίνει χρήση του Θεωρήματος Stewart που λέει ότι $\displaystyle{b^2q+c^2p=a(d^2+pq)}$ (βλέπε σχήμα).

Πράγματι, έστω ότι για κάποιο

οι $c=MA_k, \, d=MA_m, \, b=MA_n$ με k<m<n

ήσαν (και οι τρεις) ρητοί. Τότε από Stewart

$\displaystyle{b^2(n-m)\sqrt [3] 2+ c^2(m-k)\sqrt [3] 2=(n-k)\sqrt [3] 2\left (d^2+(n-m)\sqrt [3] 2\cdot (m-k)\sqrt [3] 2\right )}$

που με απλοποίηση της $\displaystyle{\sqrt [3] 2}$ γράφεται

$\displaystyle{b^2(n-m)+ c^2(m-k)=(n-k)\left (d^2+(n-m)(m-k)\sqrt [3] 4\right )}$ .

Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί το αριστερό μέλος είναι ρητός ενώ το δεξί, άρρητος. Τελικά υπάρχουν το πολύ δύο από τα AM_t

που είναι ρητοί, όπως θέλαμε.

Σχόλια: (1) Η απόδειξη λέει, λίγο γενικότερα, ότι για κάθε

όχι μόνο το πολύ δύο από τους $\displaystyle{MA_1,\, MA_2,...,\, MA_n}$ είναι ρητοί αλλά το πολύ δύο από τους $\displaystyle{MA^2_1,\, MA^2_2,...,\, MA^2_n, \, ...}$ είναι ρητοί.

(2) Η κατασκευή του Δημήτρη μπορεί πολύ εύκολα να προσαρμοστεί ώστε να ισχύει το λίγο γενικότερο που περιγράφτηκε στο (1). Απλά οι ακτίνες των κύκλων που χρησιμοποιεί μπορούν να ληφθούν ως $\sqrt q$ όπου $q \in \mathbb Q ^+$ .
.

Σημεία στο επίπεδο

Σημεία στο επίπεδο

Re: Σημεία στο επίπεδο

Re: Σημεία στο επίπεδο

Re: Σημεία στο επίπεδο

Μέλη σε σύνδεση