Πανέμορφη Γεωμετρική συμμετρία

#1

Οι τριχοτόμοι τυχαίου τριγώνου, τεμνόμενες ανα δύο, σχηματίζουν πάντα ισόπλευρο τρίγωνο.

dement · #2

Δεν την απεφυγα τελικα την τριγωνομετρια...

Εστω $\triangle{ABC}$ το αρχικο τριγωνο και $\triangle{KLM}$ το εσωτερικο (οι KL, LM, MK

αντιστοιχουν στις A, B, C

αντιστοιχα). Επισης, για τις γωνιες, θετουμε $a = \frac{\angle{A}}{3}, b = \frac{\angle{B}}{3}, c = \frac{\angle{C}}{3}$ .

Αν

ειναι η ακτινα του περιγεγραμμενου κυκλου του $\triangle{ABC}$ , εχουμε (απο νομο ημιτονων στο $\triangle{ABL}$ ) $AL = 2R \sin b \frac{\sin{3c}}{\sin ( \pi/3 - c)} = 8 R \sin b \sin c \sin (\pi / 3 + c)$ (μετα απο χρηση τριγωνομετριας στο κλασμα). Ομοιως $AK = 8 R \sin b \sin c \sin (\pi / 3 + b)$ . Ετσι, $\frac{AL}{AK} = \frac{\sin (\pi / 3 + c)}{\sin (\pi / 3 + b)}$ .

Βλεπουμε λοιπον οτι, στο τριγωνο $\triangle{AKL}$ ισχυει $\angle{ALK} = \pi/3 + b$ και $\angle{AKL} = \pi/3 + c$ (αφου $a + b + c = \pi/3$ ). Παιρνοντας τις αντιστοιχες γωνιες για τα αλλα τριγωνα ( $\triangle{BLM}, \triangle{CMK}$ ) καταληγουμε στο συμπερασμα οτι καθε γωνια του $\triangle{KLM}$ ισουται με $\pi / 3$ .

Δημητρης Σκουτερης

#3

dement έγραψε:Δεν την απεφυγα τελικα την τριγωνομετρια...

Εστω $\triangle{ABC}$ το αρχικο τριγωνο και $\triangle{KLM}$ το εσωτερικο (οι αντιστοιχουν στις αντιστοιχα). Επισης, για τις γωνιες, θετουμε $a = \frac{\angle{A}}{3}, b = \frac{\angle{B}}{3}, c = \frac{\angle{C}}{3}$ .

Αν ειναι η ακτινα του περιγεγραμμενου κυκλου του $\triangle{ABC}$ , εχουμε (απο νομο ημιτονων στο $\triangle{ABL}$ ) $AL = 2R \sin b \frac{\sin{3c}}{\sin ( \pi/3 - c)} = 8 R \sin b \sin c \sin (\pi / 3 + c)$ (μετα απο χρηση τριγωνομετριας στο κλασμα). Ομοιως $AK = 8 R \sin b \sin c \sin (\pi / 3 + b)$ . Ετσι, $\frac{AL}{AK} = \frac{\sin (\pi / 3 + c)}{\sin (\pi / 3 + b)}$ .

Βλεπουμε λοιπον οτι, στο τριγωνο $\triangle{AKL}$ ισχυει $\angle{ALK} = \pi/3 + b$ και $\angle{AKL} = \pi/3 + c$ (αφου $a + b + c = \pi/3$ ). Παιρνοντας τις αντιστοιχες γωνιες για τα αλλα τριγωνα ( $\triangle{BLM}, \triangle{CMK}$ ) καταληγουμε στο συμπερασμα οτι καθε γωνια του $\triangle{KLM}$ ισουται με $\pi / 3$ .

Δημητρης Σκουτερης

Δημήτρη , ποτέ δεν αξιώθηκα να συγκεντρώσω όλες τις αποδείξεις που είναι γνωστές στο περίφημο αυτό θεώρημα του Morley ! Αν βρεις το χρόνο να ξεκινήσεις κάτι τέτοιο, να σου στείλω και τις πηγές ! Θα αξίζει τον κόπο !
Μπάμπης

#4

Γεωμετρική

#5

Αυτή είναι μια πολύ ωραία λύση !

Είχα τη λύση στα βιβλία α) Johnson : Advanced Euclidean Geometry(Dover), β) Τσιντσιφας : Γεωμετρία γ) Μαραγκάκης :Γεωμετρικά θέματα ,δ) Coxeter : Geometry revisited , αλλά αυτή δεν τη θυμόμουνα .

Είχα μελετήσει παλαιότερα και τις λύσεις στο Cut the Knot, αλλά δεν τις έχω κρατήσει στο αρχείο μου . Αν κάποιος βρει συντομότερη λύση, ας μας τη στείλλει.

zorba_the_freak · #6

Δες και εδώ:
1) http://mathworld.wolfram.com/MorleysTheorem.html
2) http://en.wikipedia.org/wiki/Morley%27s ... or_theorem
3) http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/
4) http://agutie.homestead.com/FiLEs/morley.html
5) http://www.geocities.com/SoHo/Exhibit/8 ... orley.html

#7

Μία ακόμα λύση ...

SKuruklis · #8

Οι τριχοτόμοι τυχαίου τριγώνου, τεμνόμενες ανα δύο, σχηματίζουν πάντα ισόπλευρο τρίγωνο.

Νομίζω ότι η σωστή διατύπωση του θεωρήματος της ανάρτησης (που αναφέρεται στο θεώρημα Morley) πρέπει να είναι:
Οι τριχοτόμοι τυχαίου τριγώνου, πλησιέστερες στις πλευρές, τέμνονται στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

Η κάθε γωνία ενός τριγώνου έχει δυο τριχοτόμους. Έτσι οι τριχοτόμοι δύο γωνιών τέμνονται σε 4 σημεία. Άρα οι τριχοτόμοι των τριών γωνιών τέμνονται σε 3x4 = 12 σημεία. Επομένως οι τριχοτόμοι των τριών γωνιών τέμνονται σε 12 σημεία. Συνεπώς υπάρχουν C(12,3) = 220 τρίγωνα με κορυφές σημεία τομής τριχοτόμων. Εξ αυτών μόνο το τρίγωνο με κορυφές τις τομές των τριχοτόμων, πλησιέστερων στις πλευρές, είναι ισόπλευρο.

: Τομές τριχοτόμων; TrisectorsIntersections.png (45.49 KiB) Προβλήθηκε 1085 φορές

Πανέμορφη Γεωμετρική συμμετρία

Πανέμορφη Γεωμετρική συμμετρία

Re: Πανέμορφη Γεωμετρική συμμετρία

Re: Πανέμορφη Γεωμετρική συμμετρία

Re: Πανέμορφη Γεωμετρική συμμετρία

Re: Πανέμορφη Γεωμετρική συμμετρία

Re: Πανέμορφη Γεωμετρική συμμετρία

Re: Πανέμορφη Γεωμετρική συμμετρία

Re: Πανέμορφη Γεωμετρική συμμετρία

Μέλη σε σύνδεση