Όμορφο εγγράψιμο

Antonis_Z · #1

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

.Το ύψος

( $D\in BC$ ) τέμνει τον (O)

στο

.Αν

είναι τα συμμετρικά του

ως προς τις AB,AC

,αντίστοιχα,και S,T

τα μέσα των EB,EC

,να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο PQTS

είναι εγγράψιμο.

raf616 · #2

Antonis_Z έγραψε:Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο .Το ύψος ( $D\in BC$ ) τέμνει τον στο .Αν είναι τα συμμετρικά του ως προς τις ,αντίστοιχα,και τα μέσα των ,να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Καλημέρα! Μία προσπάθεια:

Η βασική παρατήρηση είναι ότι οι τριάδες (N, D, S), (M, D, T)

είναι τρίαδες συνευθειακών σημείων. Πράγματι, έστω ότι η

τέμνει την

στο

. Τότε

$\angle{BDS'} = \angle{NDC} = \angle{DAC} = \angle{EBD} = \angle{S'BD}$ που δίνει ότι BS' = S'D

. Όμοια

και άρα το

είναι μέσο της

και άρα $S' \equiv S$ .

Όμοια και M, D, T

συνευθειακά. Προφανώς $ST \parallel BC$ και αν M, N

τα σημεία τομής των DP, DQ

με τις

αντιστοίχως ισχύει $MN \parallel PQ$ και το AMDN

είναι

εγγράψιμο. Τότε: $\angle{QST} = \angle{DST} = \angle{NDC} = \angle{DAC} = \angle{DMN} = \angle{DPQ} = \angle{TPQ}$ που δίνει ότι το PQTS

είναι εγγράψιμο, δηλαδή το ζητούμενο.

*EDIT: Στο σχήμα εκ παραδρομής αντί για P, Q

σημειώνονται I, M

αντίστοιχα.

#3

$\bullet$ Από τα μέσα $S,\ T$ των $EB,\ EC$ αντιστοίχως, έχουμε $ST\parallel BC\Rightarrow$ $ST\perp DE\equiv AD$ λόγω $AD\perp BC$ και άρα, τα σημεία $D,\ E$ είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία

.

Επομένως, ισχύει $\angle SDE = \angle SED \equiv \angle BEA\ \ \ ,(1)$

Αλλά, $\angle BEA = \angle C = \angle ADN\ \ \ ,(2)$

Από $(1),\ (2)\Rightarrow$ $\angle SDE = \angle ADN$ και άρα, τα σημεία $S,\ D,\ N$ είναι συνυεθειακά, με $N\equiv AC\cap DQ$ και ομοίως, τα σημεία $T,\ D,\ M$ είναι συνευθειακά, με $M\equiv AB\cap DP$ .

$\bullet$ Το τετράπλευρο MSTN

τώρα, είναι εγγράψιμο από $\angle MTS = \angle STE = \angle BCE = \angle BAE \equiv MAD = \angle MND$ και άρα έχουμε $(DS)(DN) = (DT)(DM)\ \ \ ,(3)$

Από $(3)\Rightarrow$ $(DT)(2DM) = (DT)(2DM)\Rightarrow$ $(DS)(DQ) = (DT)(DP)\ \ \ ,(4)$

Από (4)

συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο PSTQ

είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Antonis_Z · #4

Πολύ ωραία!

Προσθέτω και το δεύτερο σκέλος της άσκησης.

Έστω

το αντιδιαμετρικό του

.Η κάθετη απ'το

στην

τέμνει τον (O)

στα

.Αν

τα μέσα των A'K,A'L

,δείξτε ότι στον περιγεγραμμένο κύκλο του PQST

(όπως ορίστηκε στο 1ο σκέλος) ανήκουν και τα σημεία X,Y

κι όχι μόνο αυτά,αλλά και τα K,L

.

Όμορφο εγγράψιμο

Όμορφο εγγράψιμο

Re: Όμορφο εγγράψιμο

Re: Όμορφο εγγράψιμο

Re: Όμορφο εγγράψιμο

Μέλη σε σύνδεση