Δίνεται κυρτό...

[S.E.Louridas]

Ενα σημαντικό θέμα:

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο με .
Αποδείξτε την κατασκευαστική ύπαρξη εγγράψιμου κυρτού τετραπλεύρου με τις ίδιες κατά σειρά πλευρές .

[Σακης]

Τη λύση αυτή την οφείλω στο Κατράνη Δρόσο.

Έστω τετράπλευρο ώστε αμβλεία και οξεία.
Από νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα και πέρνουμε και

Για να είναι εγγράψιμο το , πρέπει , άρα, συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις, πρέπει:



Έστω η προβολή της στην . Καθώς η είναι αμβλεία, το πέφτει εκτός του τμήματος .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο πέρνουμε ότι .

Δουλεύοντας ομοίως με την διαγώνιο , έχουμε ότι .

Έστω ότι είναι η προβολή της πάνω στην . Από το ορθογώνιο πέρνουμε ότι .


Τώρα για την κατασκευή:

Έστω ευθύγραμμο τμήμα μήκους .
Προεκτείνουμε τo προς την πλευρά του κατά τμήμα ,

και πέρνουμε σημείο επί της ώστε .

Φέρνουμε δύο κύκλους με κέντρα και ακτίνες αντιστοίχως, όπου ο πρώτος τέμνει την κάθετη από το πρός την , στο ,
και ο δεύτερος την κάθετη από το προς την , στο .

Τα και είναι γνωστά μήκη συναρτήσει των άρα ξέρουμε και το .
Από πυθαγόριο στα και βρίσκουμε τα μήκη και αντιστοίχως.

Έστω , η προβολή του στην .
και , άρα από πυθαγόριο στο βρίσκουμε το μήκος , το οποίο μετά από πράξεις τις οποίες θα παραλήψω βγαίνει ίσο με .

Ακόμη, δουλεύοντας αντίστροφα ξέρουμε ότι:

και είναι παραπληροματικές και άρα το είναι εγγράψιμο.

[S.E.Louridas]

Σάκη και Κατράνη Δρόσο ευχαριστώ.

Είναι ένα σπουδαίο Γεωμετρικό θέμα που υπήρχε στο σχολικό βιβλίο της ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ για τις τάξεις Δ΄,Ε΄, ΣΤ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (6-τάξιο τότε) ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΡΑΚΤΙΚΟ) - ΑΘΗΝΑΙ 1975, που είχε συγγράψει ο ΤΕΡΑΣΤΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ, ΣΠΥΡΟΣ ΚΑΝΕΛΛΟΣ .

(*) Το πρόβλημα αυτό ευρίσκεται στη σελίδα 192 του βιβλίου αυτού.

[emouroukos]

Δύο ερωτήματα:

Ισχύει το ίδιο αν το τετράπλευρο δεν είναι κυρτό;

Ισχύει το ίδιο για κυρτό -γωνο;

[Mihalis_Lambrou]

Δύο ερωτήματα:

Ισχύει το ίδιο αν το τετράπλευρο δεν είναι κυρτό;

Για το πρώτο, ναι ισχύει: Αν το τετράπλευρο δεν είναι κυρτό, τότε μία κορυφή του, ας πούμε η , είναι μέσα στo τρίγωνο . Κοιτάμε το νέο τετράπλευρο όπου το συμμετρικό του ως προς την . Το νέο τετράπλερο είναι κυρτό με ακριβώς τις ίδιες πλευρές και με την ίδια σειρά. Αλλά αυτό το πρόβλημα το λύσαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης.

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Μία άλλη ιδέα για την κατασκευή είναι η παρακάτω:
Έστω το προς κατασκευή εγγράψιμο τετράπλευρο. Με πλευρά , κατασκευάζουμε το όμοιο του με αντίστροφο προσανατολισμό και λόγο ομοιότητας .
Από τις ισότητες των γωνιών, προκύπτει εύκολα ότι και ότι τα όπως και τα είναι συνευθειακά. Επομένως το είναι τραπέζιο με γνωστά τα μήκη των πλευρών του, επομένως κατασκευάζεται, αφού κατασκευάσουμε το τρίγωνο , με .

[S.E.Louridas]

Η ιδέα-λύση επι της ουσίας του Ανδρέα Βαρβεράκη είναι υψηλής Γεωμετρικής νοοτροπίας, Αναμενόμενο.

[rek2]

Να πω μια καλησπέρα στην παρέα, και να την τιμήσω με μια αιρετική σκέψη:

Θεωρούμε το τετράπλευρο αρθρωτό στις κορυφές του, και ας πάρουμε δύο διαδοχικές πλευρές με άθροισμα μικρότερο ή ίσο των δύο άλλων π.χ . Τότε τα μπορούν να γίνουν συνευθειακά, επομένως το άθροισμα των γωνιών παίρνει τιμή μεγαλύτερη των 180 μοιρών. Σε κάποια θέση γίνονται συνευθεικά τα ή τα , επομένως το άθροισμα των γωνιών παίρνει τιμή μικρότερη των 180 μοιρών. Άρα, αν δεχτούμε ότι η μεταβολή του αθροίσματος είναι συνεχής, γίνεται και 180 μοίρες και στη θέση αυτή το είναι εγράψιμμο.

[spypap]

Αγαπητοί φίλοι,

Μήπως έχει κανείς και μπορεί να ανεβάσει φωτογραφία του μεγάλου Μαθηματικού ΣΠΥΡΟΥ ΚΑΝΕΛΛΟΥ?

Ευχαριστώ

[gbaloglou]

Αγαπητοί φίλοι,

Μήπως έχει κανείς και μπορεί να ανεβάσει φωτογραφία του μεγάλου Μαθηματικού ΣΠΥΡΟΥ ΚΑΝΕΛΛΟΥ?

Ευχαριστώ

Βλέπε https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=68629 και https://i.postimg.cc/MKbXRDJ2/image.jpg