Ανισότητα σε τρίγωνο

themiskant · #1

Έστω τρίγωνο $\vartriangle AB\Gamma$ και $\Delta,\ E,\ Z$ τα σημεία επαφής των πλευρών $B\Gamma,\ A\Gamma,\ AB$ αντίστοιχα με τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου. Αν οι κάθετες από τα $\Delta,\ E,\ Z$ στις $B\Gamma,\ \Gamma A,\ AB$ αντίστοιχα τέμνουν τις $EZ,\ \Delta Z,\ E\Delta$ στα $K,\ \Lambda,\ M$ αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι $\Delta K + E\Lambda + ZM < \tau$ , όπου $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος του $\vartriangle AB\Gamma.$

Ιστοσελίδα · #2

Έχουμε $\displaystyle{ \Delta K < E\Delta < E\Gamma + \Delta \Gamma }$
και $\displaystyle{ \Delta K < EZ < B\Delta + \Delta Z }$
με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:

$\displaystyle{ 2\Delta K < E\Gamma + \alpha + BZ }$

και κυκλικά έχουμε:
$\displaystyle{ 2E\Lambda < AZ + \beta + \Gamma \Delta }$
$\displaystyle{ 2ZM < AE + \gamma + B\Delta }$

προσθέτοντας τις τελευταίες τρεις σχέσεις προκύπτει:

$\displaystyle{ 2(\Delta K + E\Lambda + ZM) < \alpha + \beta + \gamma + (E\Gamma + AE) + (AZ + ZB) + (\Gamma \Delta + B\Delta ) }$
$\displaystyle{ 2(\Delta K + E\Lambda + ZM) < 2(\alpha + \beta + \gamma ) }$
$\displaystyle{ \Delta K + E\Lambda + ZM < \tau }$

Ανισότητα σε τρίγωνο

Ανισότητα σε τρίγωνο

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση